《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

23. 【新考法·新定义】定义:在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的 $ \frac{1}{2} $,我们称这两个角互为“友爱角”,这个三角形叫作“友爱三角形”.例如:在 $ \triangle ABC $ 中,如果 $ \angle A = 80° $, $ \angle B = 40° $,那么 $ \angle A $ 与 $ \angle B $ 互为“友爱角”, $ \triangle ABC $ 为“友爱三角形”.
(1)如图 1, $ \triangle ABC $ 是“友爱三角形”,且 $ \angle A $ 与 $ \angle B $ 互为“友爱角”($ \angle A ＞ \angle B $), $ \angle ACB = 90° $.
① 求 $ \angle A $, $ \angle B $ 的度数;
② 若 $ CD $ 是 $ \triangle ABC $ 中 $ AB $ 边上的高,则 $ \triangle ACD $, $ \triangle BCD $ 都是“友爱三角形”吗? 为什么?
(2)如图 2,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 70° $, $ \angle A = 66° $, $ D $ 是边 $ AB $ 上一点(不与点 $ A $, $ B $ 重合),连接 $ CD $,若 $ \triangle ACD $ 是“友爱三角形”,直接写出 $ \angle ACD $ 的度数.

答案： 23.解:
(1)①
∵△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A ＞ ∠B)，
∴∠A = 2∠B，
∵∠ACB = 90°，
∴∠A + ∠B = 180° - 90° = 90°，即2∠B + ∠B = 90°，解得∠B = 30°，
∴∠A = 60°；
②△ACD，△BCD都是“友爱三角形”。理由如下：
∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴∠ADC = ∠BDC = 90°，
∵∠A = 60°，∠B = 30°，
∴∠ACD = 30°，∠BCD = 60°，在△ACD中，∠A = 60°，∠ACD = 30°，
∴∠ACD = 1/2∠A，
∴△ACD为“友爱三角形”；在△BCD中，∠BCD = 60°，∠B = 30°，
∴∠B = 1/2∠BCD，
∴△BCD为“友爱三角形”；
(2)∠ACD的度数为33°或38°。【解析】在△ABC中，∠B = 180° - (∠A + ∠ACB) = 44°。
∵△ACD是“友爱三角形”，D是边AB上一点(不与点A，B重合)，分以下几种情况：当∠ACD = 1/2∠A时，∠ACD = 1/2×66° = 33°；当∠ADC = 1/2∠A时，∠ADC = 1/2×66° = 33°，
∵∠ADC为△BCD的一个外角，
∴∠ADC ＞ ∠B = 44°，
∴此种情况不存在；当∠ACD = 1/2∠ADC时，∠ACD + 1/2∠ACD + ∠A = 180°，即3/2∠ACD + 66° = 180°，解得∠ACD = 76°，
∵∠ACB = 70°，且∠ACD ＜ ∠ACB，
∴此种情况不成立；当∠ACD = 1/2∠ADC时，
∴∠A + 3∠ACD = 180°，即3∠ACD = 114°，
∴∠ACD = 38°。综上所述，∠ACD的度数为33°或38°。