《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

4. (1)阅读理解：在一节数学课上，老师提出了这样一问题：
如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°. 求证：DA=DC.
老师提示：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题. 小组讨论后，小明和小刚举手发言，讲述了他们的思路：
小明：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
小刚：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题.
结合图1，在小明和小刚中任选一种思路进行证明；
(2)问题解决：
如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由.

答案：
4. 解：
(1)①小明的方法：如图1，在 BC 上截取 BM =
BA，连接 DM，
∵ BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABD =
∠CBD，在△ABD 和△MBD 中，$\begin{cases} BD = BD,\\ ∠ABD = ∠MBD,\\ BA = BM, \end{cases}$
∴ △ABD≌△MBD(SAS)，
∴ ∠A = ∠BMD，AD =
MD，
∵ ∠BMD + ∠CMD = 180°，∠C + ∠A = 180°，
∴ ∠C = ∠CMD，
∴ DM = DC，
∴ DA = DC；
②小刚的方法：如图2，延长 BA 到 N，使 BN = BC，连
接 DN，
∵ BD 平分 ∠ABC，∠NBD = ∠CBD，在
△NBD 和△CBD 中，$\begin{cases} BD = BD,\\ ∠NBD = ∠CBD,\\ BN = BC, \end{cases}$
∴ △NBD
≌ △CBD（SAS），
∴ ∠BND = ∠C，ND = CD，
∵ ∠NAD + ∠BAD = 180°，∠C + ∠BAD = 180°，
∴ ∠BND = ∠NAD，
∴ DN = DA，
∴ DA = DC；
　　 　　　　
(2)AB，BC，BD 之间的数量关系为 AB + BC = BD.
理由如下：如图3，延长 CB 到 P，使 BP = BA，连接
AP，由
(1)知 AD = CD，
∵ ∠DAC = 60°，
∴ △ADC
是等边三角形，
∴ AC = AD，∠ADC = 60°，
∵ ∠BCD
+ ∠BAD = 180°，∠ABC + ∠BAC + ∠BCA +
∠ACD + ∠ADC + ∠CAD = 180° + 180° = 360°，即
∠ABC + ∠BAD + ∠ADC + ∠BCD = 360°，
∴ ∠ABC = 360° - 180° - 60° = 120°，
∴ ∠PBA =
180° - ∠ABC = 60°，
∵ BP = BA，
∴ △ABP 为等边
三角形，
∴ ∠PAB = 60°，AB = AP，
∵ ∠DAC = 60°，
∴ ∠PAB + ∠BAC = ∠DAC + ∠BAC，即 ∠PAC =
∠BAD， 在 △PAC 和 △BAD 中，$\begin{cases} PA = BA,\\ ∠PAC = ∠BAD,\\ AC = AD, \end{cases}$
∴ △PAC ≌ △BAD（SAS），
∴ PC = BD，
∵ PC = BP + BC = AB + BC，
∴ AB +
BC = BD.