《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

1. 如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，点F在AE上，且AF=BE，连接CF，CE.
求证：(1)∠CAF=∠CBE；
(2)△CEF是等边三角形.

答案： 1. 证明：
(1)
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠CAB = ∠CBA = 60°，
∵ D 为 BC 的中点，
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠CAB = 30°，又
∵ BE ⊥ AB，
∴ ∠ABE = 90°，
∴ ∠CBE = 90° - ∠CBA = 30°，
∴ ∠CAF = ∠CBE；
(2)
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ CA = CB，在△CAF
和 △CBE 中，$\begin{cases} CA = CB,\\ ∠CAF = ∠CBE,\\ AF = BE,\end{cases}$
∴ △CAF ≌ △CBE（SAS），
∴ CE = CF，∠ACF = ∠BCE，
∴ ∠ECF = ∠BCE + ∠BCF = ∠ACF + ∠BCF =
∠ACB = 60°，
∴ △CEF 是等边三角形.

2. 【初步感知】
如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD，BE.小组同学发现：
(1)△ACD与△BCE全等，依据是SAS(填写全等三角形判定定理)；
(2)线段BE=AD，依据是全等三角形的对应边相等；
【拓展探究】
如图2，△ABC和△CDE都是等腰三角形，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD，BE相交于点M，连接CM.
(3)线段BE与AD之间是否仍存在(2)中的结论？若存在，请说明理由；
BE = AD 仍然成立. 理由如下：∵ ∠ACB =∠DCE，则 ∠ACD = ∠ACB + ∠BCD，∠BCE =∠DCE + ∠BCD，∴ ∠ACD = ∠BCE，在△BCE 和△ACD 中，$\begin{cases} CB = CA,\\ ∠BCE = ∠ACD,\\ CE = CD, \end{cases}$∴ △BCE≌△ACD(SAS)，∴ BE = AD；
(4)∠AMB=α(用含α的式子表示)，并说明理由.
理由如下：∵ △ACD≌△BCE，∴ ∠CAD =∠CBE，∵ ∠BAC + ∠ABC = 180° - α，∴ ∠BAM +∠ABM = ∠BAC - ∠CAD + ∠ABC + ∠CBE =180° - α，∴ ∠AMB = α.

答案： 2. 解：
(1)SAS；【解析】
∵ △ABC 和△CDE 都是等边
三角形，
∴ ∠ACB = 60°，∠ECD = 60°，BC = AC，CE
= CD，
∴ ∠ACB - ∠ACE = ∠ECD - ∠ACE，即
∠ECB = ∠DCA，
∴ △ACD≌△BCE(SAS).
(2)全等三角形的对应边相等；
(3)BE = AD 仍然成立. 理由如下：
∵ ∠ACB =
∠DCE，则 ∠ACD = ∠ACB + ∠BCD，∠BCE =
∠DCE + ∠BCD，
∴ ∠ACD = ∠BCE，在△BCE 和
△ACD 中，$\begin{cases} CB = CA,\\ ∠BCE = ∠ACD,\\ CE = CD, \end{cases}$
∴ △BCE≌△ACD
(SAS)，
∴ BE = AD；
(4)α. 理由如下：
∵ △ACD≌△BCE，
∴ ∠CAD =
∠CBE，
∵ ∠BAC + ∠ABC = 180° - α，
∴ ∠BAM +
∠ABM = ∠BAC - ∠CAD + ∠ABC + ∠CBE =
180° - α，
∴ ∠AMB = α.