《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

19. 如图,$AB=AC,∠BAC=120^{\circ },AD⊥AC,AE⊥AB$.
(1)求$∠C$的度数;
(2)判断$\triangle AED$的形状,并说明理由.

答案： 19. 解：
(1)
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C，
∵∠BAC = 120°，
∴∠C = $\frac{1}{2}$×(180° - 120°) = 30°；
(2)△AED是等边三角形.理由如下：
∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠CAD = ∠BAE = 90°，由
(1)知∠B = ∠C = 30°，
∴∠ADE = ∠AED = 90° - 30° = 60°，
∴∠DAE = 180° - 60° - 60° = 60°，
∴∠ADE = ∠AED = ∠DAE，
∴△ADE是等边三角形.

20. 如图,在$\triangle ABC$中,直线 l 是 AB 的垂直平分线,与边 AC 交于点 E,点 D 在直线 l 上,且$DB=DC$,连接 AD.
(1)求证:$∠CAD=∠ACD$;
(2)连接 BE,若$BD⊥CD$,求证:$BE⊥AC$.

答案： 20. 证明：
(1)
∵直线l是AB的垂直平分线，点D在直线l上，
∴DA = DB，
∵DB = DC，
∴DA = DC，
∴∠CAD = ∠ACD；
(2)
∵BD⊥CD，
∴∠CDB = 90°，
∴∠BCD + ∠CBD = 90°，
∴∠CAD + ∠ACD + ∠BAD + ∠ABD = 90°，
∵DA = DB，
∴∠ABD = ∠BAD，
∵∠CAD = ∠ACD，
∴∠CAD + ∠BAD = 45°，
∴∠EAB = 45°，
∵直线l是AB的垂直平分线，
∴EA = EB，
∴∠EBA = ∠45°，
∴∠AEB = 90°，
∴BE⊥AC.