《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

23. 如图 1，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，且与△ABC 的外角∠ACE 的平分线交于点 D.
【问题解决】
（1）若∠ABC = 75°，∠ACB = 45°，求∠D 的度数；
（2）若∠ABC = 80°，∠A = 60°，则∠D =30°；
【猜想证明】
（3）当∠ABC 和∠ACB 在变化，而∠A 始终保持不变，则∠D 是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有∠A 的式子表示∠D）
【拓展提高】
（4）若把∠A 截去，得到四边形 MNCB，如图 2，猜想∠D，∠M，∠N 的数量关系，并说明理由.

答案： 23.解：
(1) $\because \angle ABC = 75°$，$BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle DBE = \frac{1}{2} \angle ABC = 37.5°$，又$\because \angle ACB = 45°$，$\therefore \angle ACE = 180° - 45° = 135°$，$\because CD$平分$\angle ACE$，$\therefore \angle DCE = \frac{1}{2} \angle ACE = 67.5°$，$\therefore \angle D = \angle DCE - \angle DBC = 67.5° - 37.5° = 30°$；
(2) 30°；
(3)不变化.理由如下：$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle DBE = \frac{1}{2} \angle ABC$，$\because CD$平分$\angle ACE$，$\therefore \angle DCE = \frac{1}{2} \angle ACE$，$\therefore \angle D = \angle DCE - \angle DBC = \frac{1}{2} \angle ACE - \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} (\angle ACE - \angle ABC) = \frac{1}{2} (\angle A + \angle ABC - \angle ABC) = \frac{1}{2} \angle A$，即$\angle D = \frac{1}{2} \angle A$；
(4) $\angle D = \frac{1}{2} (\angle M + \angle N - 180°)$.理由如下：如图，延长$BM$，$CN$交于点$A$，则$\angle A = 180° - (\angle AMN + \angle ANM) = 180° - [360° - (\angle BMN + \angle CNM)] = \angle BMN + \angle CNM - 180°$，$\therefore \angle A = \angle BMN + \angle CNM - 180°$，由
(3)可得$\angle D = \frac{1}{2} \angle A$，$\therefore \angle D = \frac{1}{2} (\angle M + \angle N - 180°)$.