《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

21. 【问题发现】
我们知道“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？
【自主研究】
（1）如图 1，直线 $ l $ 是线段 $ AB $ 的垂直平分线，点 $ P $ 在直线 $ l $ 的左侧，经测量，$ PA ＜ PB $，请证明这个结论；
【迁移研究】
（2）如图 2，直线 $ l $ 是线段 $ AB $ 的垂直平分线，点 $ C $ 在直线 $ l $ 外，且与点 $ A $ 在直线 $ l $ 的同侧，点 $ D $ 是直线 $ l $ 上的任意一点，连接 $ AD $，$ BC $，$ CD $，试判断 $ BC $ 和 $ AD + CD $ 之间的大小关系，并说明理由.

答案：
21. 解：
(1)证明：如图1，连接PA，PB，AM，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴PB= PM + MB=PM + AM，
∵PM + AM＞PA，
∴PA＜ PB；
(2)AD + CD≥BC. 理由如下：当D不在线段BC上时，连接BD，如图2，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵BD + CD＞BC，
∴AD + CD ＞BC；当D在线段BC上时，如图3，AD + CD= BD + CD=BC，
∴AD + CD≥BC.

22. 边长为 10 的等边三角形 $ ABC $ 中，点 $ Q $ 是 $ BC $ 上任意一点，点 $ P $ 是 $ AB $ 上一动点，以每秒 2 个单位的速度从点 $ A $ 向点 $ B $ 移动，设运动时间为 $ t $ 秒.
（1）如图 1，若 $ CQ = 6 $，$ t $ 为何值时 $ PQ // AC $；
（2）如图 2，若点 $ P $ 从点 $ A - B $ 运动，同时点 $ Q $ 以每秒 3 个单位的速度从点 $ B $ 经点 $ C $ 向点 $ A $ 运动，当 $ t $ 为何值时，$ \triangle APQ $ 为等边三角形？

答案：
22. 解：
(1)如图1，
∵△ABC是等边三角形，PQ//AC，
∴∠BQP=∠C=60°，∠BPQ=∠A=60°，∠B= 60°，
∴∠B=∠BQP=∠BPQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP=BQ，
∵AB=BC，
∴AP=CQ. 由题意，可知AP=2t，则2t=6，
∴t=3，
∴当t的值为3时，PQ//AC；
(2)如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP=AQ. 由题意，可知AP=2t，BC + CQ=3t，
∴AQ=BC + AC - (BC + CQ)=10 + 10 - 3t=20 - 3t，即20 - 3t=2t，解得t=4，
∴当t=4时，△APQ为等边三角形.