《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

21. 已知,如图,$\triangle ABC$为等边三角形,$AE=CD$,AD,BE 相交于点 P,$BQ⊥AD$于 Q.
(1)求证:$BE=AD$;
(2)求$∠BPQ$的度数;
(3)若$PQ=4,PE=1$,求 AD 的长.

答案： 21. 解：
(1)证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB = CA，∠BAE = ∠C = 60°，在△AEB和△CDA中，$\begin{cases} AB = CA, \\ ∠BAE = ∠C, \\ AE = CD, \end{cases}$
∴△AEB≌△CDA(SAS)，
∴BE = AD；
(2)由
(1)知，△AEB≌△CDA，则∠ABE = ∠CAD，
∴∠BAD + ∠ABE = ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC = 60°，
∴∠BPQ = ∠BAD + ∠ABE = 60°；
(3)由
(2)知∠BPQ = 60°.
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ = 30°，
∵PQ = 4，
∴BP = 2PQ = 8，
∴BE = BP + PE = 9，
∴AD = BE = 9.