《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

21. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，且 BD = DF.
（1）求证：CF = EB；
（2）试判断 AB 与 AF，EB 之间存在的数量关系. 并说明理由。

答案： 21.解：
(1)证明：$\because AD$是$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AB$，$\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore DC = DE$，在$Rt\triangle FCD$和$Rt\triangle BED$中，$\begin{cases}DF = DB\\DC = DE\end{cases}$，$\therefore Rt\triangle FCD\cong Rt\triangle BED(HL)$，$\therefore CF = EB$；
(2)$AB = AF + 2BE$.理由如下：在$Rt\triangle ACD$和$Rt\triangle AED$中，$\begin{cases}AD = AD\\DC = DE\end{cases}$，$\therefore Rt\triangle ACD\cong Rt\triangle AED(HL)$，$\therefore AC = AE$，由
(1)，可知$CF = EB$，$\therefore AB = AE + BE = AF + FC + BE = AF + 2BE$.

22. 如图，已知 AC = BC，点 D 是 BC 上一点，∠ADE = ∠C.
（1）如图 1，若∠C = 90°，∠DBE = 135°，求证：
① ∠EDB = ∠A；
② DA = DE；
（2）如图 2，请直接写出∠DBE 与∠C 之间满足什么数量关系时，总有 DA = DE 成立。

答案： 22.解：
(1)证明：①$\because\angle ADE = \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore\angle EDB + \angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle A + \angle ADC = 90^{\circ}$，$\therefore\angle EDB = \angle A$；②在$AC$上截取$CF = CD$，连接$FD$，如图1，$\because\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore\angle CFD = \angle CDF = 45^{\circ}$，$\therefore\angle AFD = 135^{\circ} = \angle DBE$，$\because AC = BC$，$\therefore AC - CF = BC - CD$，即$AF = DB$，由①知$\angle A = \angle BDE$，在$\triangle AFD$和$\triangle DBE$中，$\begin{cases}\angle A=\angle BDE\\AF = DB\\\angle AFD=\angle DBE\end{cases}$，$\therefore\triangle AFD\cong\triangle DBE(ASA)$，$\therefore DA = DE$；
(2)当$\angle DBE = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C$时，总有$DA = DE$成立.【解析】如图2，在$AC$上截取$CM = CD$，连接$MD$，$\because AC = BC$，$\therefore AM = BD$，$\because\angle ADB = \angle A+\angle C$，$\angle ADE = \angle BDE+\angle ADB$，$\angle ADE = \angle C$，$\therefore\angle A = \angle BDE$，$\because\angle CMD = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C$，$\therefore\angle AMD = 180^{\circ}-\angle CMD = 180^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C) = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C$，当$\angle DBE = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C$时，$\angle DBE = \angle AMD$，在$\triangle AMD$和$\triangle DBE$中，$\begin{cases}AM = DB\\\angle A=\angle BDE\\\angle AMD=\angle DBE\end{cases}$，$\therefore\triangle AMD\cong\triangle DBE(ASA)$，$\therefore DA = DE$.