《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

21. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ D $ 为 $ BC $ 的中点，连接 $ AD $，$ AC $ 的垂直平分线 $ EF $ 交 $ AB $ 于点 $ E $，交 $ AD $ 于点 $ O $，交 $ AC $ 于点 $ F $，连接 $ OB $，$ OC $.
（1）求证：$ \triangle AOB $ 是等腰三角形；
（2）若 $ \angle BAD = 18^{\circ} $，求 $ \angle AEF $ 的度数.

答案： 21.解:
(1)证明:
∵AB=AC,D为BC的中点，
∴AD 是BC的垂直平分线，
∴OB=OC,
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC,
∴OA=OB,
∴△AOB是等腰三角形;
(2)
∵EF⊥AC,
∴∠AFE=90°,
∵AB=AC,D为
BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠EAF=
　　2∠BAD=36°,
∴∠AEF=90°−∠EAF=54°.

22. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle B = \angle C $，点 $ D $ 在 $ BC $ 上，点 $ E $ 在 $ AC $ 上，且 $ \angle ADE = \angle AED $，$ \angle BAC = 80^{\circ} $.
（1）如果 $ AD $ 平分 $ \angle BAC $，求 $ \angle EDC $ 的大小；
（2）如果 $ \angle EDC $ 与 $ \angle BAD $ 互余，求 $ \angle CAD $ 的大小.

答案： 22.解:
(1)
∵∠BAC=80°,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−80°)=50°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD =$\frac{1}{2}$∠BAC=40°,
∵∠ADE+∠AED+∠CAD=
　　180°,
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$×(180°−40°)=
　70°,
∵∠AED=∠EDC+∠C,
∴∠EDC=70°−50°=20°;
(2)设∠EDC=x,则∠BAD=90°−x,
∵∠AED=
　∠EDC+∠C=x+50°,
∴∠ADE=∠AED=x+50°,
∵∠ADE+∠AED+∠CAD=180°,
∴∠CAD=180°−2(x+50°)=80°−2x,
∵∠BAD +∠CAD=∠BAC,
∴90°−x+80°−2x=80°,解得x=30°,
∴∠CAD=80°−2×30°=20°.