《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

23. (1)如图 1,已知:在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,$ AB = AC $,直线 $ m $ 经过点 $ A $,$ BD \perp $ 直线 $ m $,$ CE \perp $ 直线 $ m $,垂足分别为点 $ D $,$ E $. 猜测 $ DE $,$ BD $,$ CE $ 三条线段之间的数量关系(直接写出结果即可);
(2)如图 2,将(1)中的条件改为:在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ D $,$ A $,$ E $ 三点都在直线 $ m $ 上,并且有 $ \angle BDA = \angle AEC = \angle BAC = \alpha $,其中 $ \alpha $ 为任意锐角或钝角. 请问第(1)题中 $ DE $,$ BD $,$ CE $ 之间的关系是否仍然成立? 若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)拓展与应用:如图 3,$ D $,$ E $ 是 $ D $,$ A $,$ E $ 三点所在直线 $ m $ 上的两动点($ D $,$ A $,$ E $ 三点互不重合),点 $ F $ 为 $ \angle BAC $ 平分线上的一点,且 $ \triangle ABF $ 和 $ \triangle ACF $ 均为等边三角形,连接 $ BD $,$ CE $,若 $ \angle BDA = \angle AEC = \angle BAC $,试判断线段 $ DF $,$ EF $ 的数量关系,并说明理由.

答案： 23.解：
(1)DE=BD + CE；【解析】
∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠AEC=90°，又
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，在△ABD和△CAE中，$\begin{cases}∠ADB=∠CEA,\\∠ABD=∠CAE,\\AB=CA,\end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD + AE，
∴DE=CE+BD.
(2)成立.证明：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180° - α，
∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，$\begin{cases}∠ADB=∠CEA,\\∠ABD=∠CAE,\\AB=CA,\end{cases}$
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(3)DF=EF.理由如下：由
(2)知，△ADB≌△CEA，
∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠EAF，
∵BF=AF，在△DBF和△EAF中，$\begin{cases}FB=FA,\\∠FBD=∠FAE,\\BD=AE,\end{cases}$
∴△DBF≌△EAF(SAS)，
∴DF=EF.