《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

14. 如图，点 $ P $，$ Q $ 分别是等边三角形 $ ABC $ 的边 $ AB $，$ BC $ 上的动点（其中 $ P $，$ Q $ 不与端点重合），若点 $ P $ 从顶点 $ A $ 向点 $ B $ 运动，点 $ Q $ 从顶点 $ B $ 同时出发向点 $ C $ 运动，且它们的速度都为 $ 2\ cm/s $，连接 $ AQ $，$ CP $ 交于点 $ M $.
（1）在 $ P $，$ Q $ 运动的过程中，$ \angle CMQ = $60°；
（2）已知等边三角形 $ ABC $ 的边长为 $ 4\ cm $，当运动时间为$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$ $ s $ 时，$ \triangle PBQ $ 为直角三角形.

答案： 14.
(1)60°
(2)$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$ 【解析】
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴CA=AB，∠CAP=∠B=60°，
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为2cm/s，
∴AP=BQ，在△CAP和△ABQ中，
$\begin{cases}CA = AB \\∠CAP = ∠B \\AP = BQ\end{cases}$
∴△CAP≌△ABQ(SAS)，
∴∠ACP=∠BAQ，
∴∠CMQ=∠ACP + ∠CAQ =∠BAQ + ∠CAQ=∠BAC=60°；
(2)设点P运动的时间为t s，则AP=BQ=2t cm，
∵AB=4 cm，
∴BP=(4 - 2t)cm，当△PBQ为直角三角形，且 ∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，则∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ=2AP，
∴4 - 2t=2×2t，解得t=$\frac{2}{3}$； 当△PBQ为直角三角形，且∠BPQ=90°时，则 ∠BQP=30°，
∴AP=BQ=2BP，
∴2t=2(4 - 2t)， 解得t=$\frac{4}{3}$. 综上所述，当运动时间为$\frac{2}{3}$s或$\frac{4}{3}$s时， △PBQ为直角三角形. 故答案为：
(1)60°
(2)$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$.

15. 如图，点 $ D $，$ E $ 在 $ \triangle ABC $ 的边 $ BC $ 上，$ AD = AE $，$ BD = CE $，求证：$ AB = AC $.

答案：
15. 证明：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD=AE，
∴DF=EF，
∵BD=CE，
∴BF=CF，
∴AB=AC.

16. 如图，$ \triangle ABC $ 是等边三角形，$ AD $ 为中线，$ AD = AE $，$ E $ 在 $ AC $ 上，求 $ \angle EDC $ 的度数.

答案： 16. 解：
∵△ABC是等边三角形，AD为中线，
∴AD⊥ BC，∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$×(180° - ∠CAD)=$\frac{1}{2}$×(180° - 30°)=75°，
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE= 90° - 75°=15°.

17. 如图，在正方形网格中，已知 $ \triangle ABC $ 的三个顶点都在格点上.
（1）画出 $ \triangle ABC $ 关于直线 $ DE $ 的轴对称图形 $ \triangle A_1B_1C_1 $；
（2）在直线 $ DE $ 上找一点 $ P $，使点 $ P $ 到边 $ AB $，$ BC $ 的距离相等.

答案：
17. 解：
(1)如图所示，△A₁B₁C₁即为所求；
(2)如图所示，延长BA交直线DE于点F，取CF的中点P，此时△BCF为等腰三角形，BP为 △BCF的中线，
∴BP为∠CBF的平分线，
∴点P到边AB，BC的距离相等，则点P即为所求.