《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

23. 【综合与实践·动点问题】实践与探究：点和线是最基本的图形，点、线运动带来的动态几何问题是常见的热点题型之一。解这类题目要“以静制动”，把动态问题变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。为了培养学生的数学思维与探究能力，在数学实践与探究课上，王老师让同学们以“图形的运动”为主题开展数学学习活动。在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CA = CB$，点 $D$ 是直线 $AB$ 上的一点，连接 $CD$，将线段 $CD$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$，得到线段 $CE$，连接 $EB$。
(1) 操作发现：
① 当点 $D$ 在线段 $AB$ 上时，如图 1. 请你直接写出 $AB$ 与 $BE$ 的位置关系______；
② 请写出线段 $BD$，$AB$，$EB$ 的数量关系______；
(2) 猜想论证：当点 $D$ 在直线 $AB$ 上运动时，如图 2，点 $D$ 在射线 $AB$ 上，请判断线段 $BD$，$AB$，$EB$ 的数量关系并证明；
(3) 拓展延伸：如图 3，点 $D$ 在射线 $BA$ 上. 若 $AB = 5$，$BD = 7$，请求出 $\triangle ADE$ 的面积。

答案：
23.解：
(1)①AB⊥BE；【解析】
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠CBE=∠A，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠CBA=45°，
∴∠CBE=∠A=45°，
∴∠ABE=90°，
∴AB⊥BE.②AB=BD+BE；【解析】由①，可知△ACD≌△BCE，
∴AD=EB，
∴AB=BD+AD=BD+EB.
(2)EB=AB+BD.证明：如图1，连接AE，DE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，$\begin{cases} CA=CB, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，
∵AD=AB+BD，
∴BE=AB+BD；
(3)如图2，连接AE，DE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，$\begin{cases} CA=CB, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，
∵BD=AB+AD，AB=5，BD=7，
∴BE=AD=BD-AB=7-5=2，
∵∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠EBC=∠DAC=135°，
∴∠DBE=∠EBC-∠ABC=90°，即BE⊥AD，
∴$S_{\triangle AED}=\frac {1}{2}AD·EB=\frac {1}{2}×2×2=2$.