《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版江西专版》

5. 如图，C 为线段 AB 上的一点，D 为 BC 的中点，点 C 把线段 AD 分成两部分，其中 $ AC:CD = 4:1 $，且 $ AB = 12 $.
(1) 求 AC 的长.
(2) 若点 E 在线段 AB 所在的直线上，且 $ AE = 3 $，求 DE 的长.

答案：
解:
(1)
∵D为BC的中点，
∴BC=2CD=2BD.
∵AC:CD=4 :1,
∴AC=4CD.
∴AB=AC+BC=4CD+2CD=12,解得CD =2.
∴AC=4CD=4×2=8.
(2)①如图1,当点E在线段AB上时，
DE=AB−AE−DB=12−3−2=7;
②如图2,当点E在线段BA的延长线上，
DE=AB+AE−BD=12+3−2=13.
综上所述，DE的长为7或13.

6. 已知 $ ∠AOB $，过点 O 引两条射线 OC，OM，且 OM 平分 $ ∠AOC $.
(1) 如图，若 $ ∠AOB = 120^{\circ} $，$ ∠BOC = 30^{\circ} $，且点 C 在 $ ∠AOB $的内部，求 $ ∠MOB $的度数.
以下是求 $ ∠MOB $的度数的解题过程，请补充完整：
解：$ ∵ ∠AOB = 120^{\circ} $，$ ∠BOC = 30^{\circ} $，
$ ∴ ∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 120^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ} $.
$ ∵ OM $平分 $ ∠AOC $，
$ ∴ ∠MOC = \frac{1}{2} $∠AOC $ = $45$ ^{\circ} $.
$ ∵ ∠MOB = ∠MOC + $∠BOC，
$ ∴ ∠MOB = $75$ ^{\circ} $.

(2) 若 $ ∠AOB = α $，$ ∠BOC = β $(其中 $ α ＜ β ＜ 90^{\circ} $)，画出图形，并求 $ ∠BOM $的度数(用含 α，β 的代数式表示).

答案：
解:
(1)∠AOC = 45°，∠BOC = 75°
(2)分两种情况讨论:
①当射线OC、射线OA在射线OB的同侧时，如图1所示.
∵∠AOB=α,∠BOC=β,
∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=β−α.
∵OM平分∠AOC,
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{\beta - \alpha}{2}$.
∴∠BOM=∠AOB+∠AOM=α+$\frac{\beta - \alpha}{2}$=$\frac{\alpha + \beta}{2}$.
②当射线OC、射线OA在射线OB的异侧时，如图2所示.
∵∠AOB=α,∠BOC=β,
∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=α+β.
∵OM平分∠AOC,
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{\alpha + \beta}{2}$.
∴∠BOM=∠AOM−∠AOB=$\frac{\alpha + \beta}{2}$−α=$\frac{\beta - \alpha}{2}$.
综上所述，∠BOM的度数为$\frac{\alpha + \beta}{2}$或$\frac{\beta - \alpha}{2}$.

7. 将长方形纸片 ABCD 按如图所示方式折叠，使得 $ ∠A'EB' = 40^{\circ} $，其中 EF，EG 为折痕，则 $ ∠FEG $的度数为()

A.$ 40^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $
C.$ 100^{\circ} $
D.$ 110^{\circ} $

答案： D