《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版江西专版》

1. 如图，C，E 是线段 AB 上两点，D 为线段 AB 的中点，AB = 6，CD = 1.
(1) 求 BC 的长.
(2) 若 AE : EC = 1 : 3，求 EC 的长.

答案： 1.解:
(1)
∵D为线段AB的中点，AB=6，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3.
∵CD=1，
∴BC=BD−CD=3−1=2.
(2)
∵D为线段AB的中点，AB=6，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=3.
∵CD=1，
∴AC=AD+CD=3 +1=4.
∵AE:EC=1:3，
∴EC=$\frac{3}{1+3}$×4=3.

【例 1】如图，点 C 在线段 AB 上，M，N 分别是 AC，BC 的中点.

(1) 若 AC = 9 cm，CB = 6 cm，则线段 MN 的长为$\frac{15}{2}$ cm.
(2) 若 AC = a，CB = b，则线段 MN 的长为$\frac{a+b}{2}$.
(3) 若 C 为线段 AB 上的任意一点，且 AB = n，其他条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？请用一句简洁的话描述你发现的结论.
【拓展提问】若将题干中的“点 C 在线段 AB 上”改为“点 C 在线段 AB 的延长线上”，其他条件不变，则(3)中的结论还成立吗？请画出图形，写出结论，并说明理由.

答案：
[例1]　解:
(1)$\frac{15}{2}$　
(2)$\frac{a+b}{2}$　
(3)猜想:MN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$n.结论:若C为线段AB上的任意一点，且M,N分别是AC，BC的中点，则MN=$\frac{1}{2}$AB.
[拓展提问]　MN=$\frac{1}{2}$n成立.理由如下:如图，当点C在线段AB 的延长线上时.
　　　　　　
∵M,N分别是AC，BC的中点，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC，NC=$\frac{1}{2}$BC.又
∵MN=MC−NC，
∴MN=$\frac{1}{2}$(AC−BC)=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$n.

2. 如图，线段 AB 的长为 6，C 是 AB 的中点，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，求线段 AE 的长.

答案： 2.解:
∵C是AB的中点，
∴AC=BC=3cm.又
∵D是BC的中点，
∴BD=CD=1.5cm.
∴AD=AB−BD=6−1.5=4.5(cm).
∵E是AD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=2.25cm.