《2025年名校课堂七年级数学上册北师大版江西专版》

【例】A 石家庄外国语校本经典题 如图，
$∠AOC=130^{\circ },∠BOC=50^{\circ }$，且 OD 平分$∠AOB$，OE 平分$∠BOC$。
(1)求$∠DOE$的度数。
(2)若将条件“$∠BOC=50^{\circ }$”删去，其余条件不变，则$∠DOE$的度数是否会改变？请说明理由。

【拓展提问】 若 OB 在$∠AOC$的外部，其他条件不变，则$∠DOE=$65°。

答案： 【例】 解：
(1)
∵$\angle AOC=130^{\circ}$，$\angle BOC=50^{\circ}$，$\therefore \angle AOB=\angle AOC - \angle BOC=130^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}$．
∵$OD$平分$\angle AOB$，$OE$平分$\angle BOC$，
$\therefore \angle DOB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×80^{\circ}=40^{\circ}$，$\angle BOE=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}×50^{\circ}=25^{\circ}$．$\therefore \angle DOE=\angle DOB+\angle BOE=40^{\circ}+25^{\circ}=65^{\circ}$．
(2)不会变.理由如下：
∵$OD$平分$\angle AOB$，$OE$平分$\angle BOC$，$\therefore \angle DOB=\frac{1}{2}\angle AOB$，$\angle BOE=\frac{1}{2}\angle BOC$．
∵$\angle AOB+\angle BOC=\angle AOC$，$\therefore$
$\angle DOE=\angle DOB+\angle BOE=\frac{1}{2}\angle AOC=65^{\circ}$．【拓展提问】$65^{\circ}$

【变式 1】 如图，已知 OE 平分$∠AOC$，OF 平分$∠BOC$。
(1)若$∠AOB=70^{\circ },∠BOC=30^{\circ }$，则$∠EOF=$35°。
(2)若$∠AOB=α,∠BOC=β$，求$∠EOF$的度数。
(3)通过(1)(2)的计算，能发现什么？

答案： 【变式1】 解：
(1)$35^{\circ}$
(2)
∵$OE$平分$\angle AOC$，$\therefore \angle EOC=\frac{1}{2}\angle AOC$．
∵$OF$平分$\angle BOC$，$\therefore \angle COF=\frac{1}{2}\angle BOC$．$\therefore \angle EOF=\angle EOC - \angle COF=\frac{1}{2}\angle AOC-\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}(\angle AOC - \angle BOC)$
$=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}\alpha$．
(3)发现$\angle EOF=\frac{1}{2}\angle AOB$，与$\angle BOC$的度数无关．

【变式 2】 如图，$∠AOB=80^{\circ },∠AOC＜180^{\circ }$，OE 平分$∠AOD$，OF 平分$∠BOC$。若$∠COD=50^{\circ }$，求$∠EOF$的度数。

答案： 【变式2】 解：
∵$OE$平分$\angle AOD$，$OF$平分$\angle BOC$，$\therefore \angle AOE=\angle EOD=\frac{1}{2}\angle AOD$，$\angle BOF=\angle FOC=\frac{1}{2}\angle BOC$．$\therefore \angle EOF=\angle EOD+\angle BOF - \angle BOD=\frac{1}{2}\angle AOD+\frac{1}{2}\angle BOC - \angle BOD$
$=\frac{1}{2}(\angle AOD+\angle BOC)- \angle BOD=\frac{1}{2}(\angle AOB+\angle COD + 2\angle BOD)- \angle BOD=\frac{1}{2}(\angle AOB+\angle COD)=\frac{1}{2}×(80^{\circ}+50^{\circ})=65^{\circ}$．