《2025年名校课堂七年级数学上册人教版》

综合与探究
【问题情境】
一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被 3 整除，那么这个自然数就能被 3 整除.
例如：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为 $a$，$b$，则通常记这个两位数为$\overline {ab}$，于是$\overline {ab}=10a + b = 9a+(a + b)$. 显然 $9a$ 能被 3 整除，因此，如果 $a + b$ 能被 3 整除，那么 $9a+(a + b)$ 就能被 3 整除，即$\overline {ab}$能被 3 整除.
【类比探究】
已知三位数$\overline {abc}$.
(1)$\overline {abc}=$100a+10b+c. (请用含 $a$，$b$，$c$ 的代数式表示)
(2)若 $a + b + c$ 能被 3 整除，则三位数$\overline {abc}$就能被 3 整除. 请说出其中的道理.
【类比拓展】
判断一个三位数能否被 7 整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的数与此末尾数字 5 倍的和能否被 7 整除. 若这个和能被 7 整除，则原数就能被 7 整除.
例如：三位数$\overline {abc}$去掉末位数字 $c$，得两位数$\overline {ab}$，再用$\overline {ab}$加上 $c$ 的 5 倍，所得的和为$\overline {ab}+5c$. 若$\overline {ab}+5c$是 7 的倍数，则$\overline {abc}$能被 7 整除.
(3)请说明“若$\overline {ab}+5c$是 7 的倍数，则$\overline {abc}$能被 7 整除”这个结论成立的理由.

答案：
(1)100a+10b+c
(2)abc=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=3(33a+3b)+(a+b+c) a为正整数，b，c为整数，33a+3b为正整数。3(33a+3b)能被3整除。又a+b+c能被3整除，99a+96+(a+b+c)能被3整除，即abc能被3整除。
(3)ab+5c=10a+b+5c，abc=100a+10b+c=10(10a+b)+c=10(10a+b+5c-5c)+c=10(10a+b+5c)-50c+c=10(ab+5c)-49c c为整数，49c能被7整除。又ab+5c是7的倍数，10(ab+5c)-49c能被7整除；即abc能被7整除。