《2025年名校课堂七年级数学上册人教版》

1. 湖南师大附中校本经典题 小亮在做“计算$(5x^{3}+2x^{4}y-3xy^{2})+(x^{3}+3xy^{2}+y^{3})-(6x^{3}-x^{2}y^{2}+2y^{2})$的值，其中$x=2,y=-1$”这道题时，把“$x=2$”错看成“$x=-2$”，但他计算的结果却是正确的. 请说明其中的原因.

答案： 1.解：原式$=5x^{2}+2x^{2}y-3xy^{2}+x^{2}y+y^{3}-6x^{3}+x^{2}y^{2}-2y^{3}=2x^{2}y+x^{2}y^{2}-2y^{3}$。
∵化简结果中只含有$x$的偶次项，且$2$和$-2$互为相反数，
∴当$x=2$和$x=-2$时，计算结果相同，
∴他计算的结果也是正确的。

2. 已知$A=3x^{2}-6x+5,B=x^{2}-4mx-7$.
(1) 计算$A-3B$.
(2) 已知$m=\frac {1}{2}$，小明和小华对$A-3B$的值进行了如下讨论：
小明：只有当$x=0$时，$A-3B$的值为 26.
小华：当$x$为任意值时，$A-3B$的值都为 26.
你认为谁的说法正确？并说明理由.

答案： 2.解：
(1)$A-3B=3x^{2}-6x+5-3(x^{2}-4mx-7)=3x^{2}-6x+5-3x^{2}+12mx+21=(12m-6)x+26$。
(2)小华的说法正确。理由如下：由
(1)知，$A-3B=(12m-6)x+26$。当$m=\frac {1}{2}$时，$12m-6=12 × \frac {1}{2}-6=0$，
∴$A-3B=0\cdot x+26=0+26=26$。
∴当$x$为任意值时，$A-3B$的值都为$26$。

3. 南京师大附中校本经典题 三个连续正整数的和能被 3 整除吗，为什么？三个连续的偶数呢？

答案： 3.解：三个连续正整数的和能被$3$整除：三个连续偶数的和能被$3$整除。理由如下：设三个连续正整数分别为$a$，$a+1$，$a+2$。则它们的和为$a+a+1+a+2=3a+3=3(a+1)$。
∵$a+1$为正整数，
∴$3(a+1)$能被$3$整除。三个连续正整数的和能被$3$整除。设三个连续偶数分别为$2b$，$2b+2$，$2b+4$(其中$b$为整数)。则它们的和为$2b+2b+2+2b+4=6b+6=3(2b+2)$。
∵$b$为整数，
∴$2b+2$为整数。
∴$3(2b+2)$能被$3$整除。三个连续偶数的和能被$3$整除。

4. 北师大附属实验校本经典题 有左、中、右三堆棋子，数目相等，每堆至少有 4 枚. 现在依次进行如下操作：
第一步：从左堆中取出 3 枚放入中堆；
第二步：从右堆中取出 4 枚放入中堆；
第三步：从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆.
(1) 若开始时，每堆均有棋子 5 枚，则第三步操作结束后，左、中、右三堆棋子的数量分别是4枚、10枚、1枚.
(2) 小京认为，第三步操作结束后，中堆的棋子数与开始所放棋子数无关，始终是 10 枚. 你认为小京的说法正确吗？请说明理由.

答案： 4.解：
(1)$4$ $10$ $1$
(2)小京的说法正确。理由如下：设三堆棋子数均为$x$枚。则第一步操作后，左堆中还剩$(x-3)$枚，此时中堆有$(x+3)$枚；第二步操作后，右堆还剩$(x-4)$枚，此时中堆有$(x+3+4)$枚；第三步操作后，此时左堆有$2(x-3)$枚，中堆的棋子数为$(x+3+4)-(x-3)=10(枚)$。因此中堆的棋子数是$10$枚，与开始所放棋子数无关。故小京的说法正确。