《2025年点金训练精讲巧练高中物理必修第一册教科版》

任务三 力的正交分解法及其应用
1. (多选)如图所示，质量为 $ m $ 的物体受到推力 $ F $ 作用，沿水平方向做匀速直线运动。已知推力 $ F $ 与水平地面的夹角为 $ \theta $，物体与地面间的动摩擦因数为 $ \mu $，则物体所受的摩擦力大小为()


A.$ F \cos \theta $
B.$ \mu mg $
C.$ \mu F $
D.$ \mu (mg + F \sin \theta) $

答案： 解：对物体进行受力分析，物体受重力$mg$、推力$F$、地面的支持力$N$和摩擦力$f$。
因为物体做匀速直线运动，所以在水平方向和竖直方向上合力都为$0$。
水平方向：$f = F\cos\theta$。
竖直方向：$N = mg + F\sin\theta$。
又因为$f = \mu N$，将$N = mg + F\sin\theta$代入可得$f = \mu (mg + F\sin\theta)$。
综上，答案为AD。

2. 如图所示，已知共面的三个力 $ F_1 = 20 \, N $、$ F_2 = 30 \, N $、$ F_3 = 40 \, N $ 作用于物体的同一点上，三个力之间的夹角都是 $ 120° $。求这三个力的合力的大小和方向。

答案： 解：
1. 建立直角坐标系：
以$F_3$方向为$x$轴正方向，垂直$F_3$向上为$y$轴正方向。
根据力的正交分解，$F_1$在$x$、$y$轴上的分力：
$F_{1x}=F_1\cos120^{\circ}=20×(-\frac{1}{2})=-10N$，$F_{1y}=F_1\sin120^{\circ}=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}N$。
$F_2$在$x$、$y$轴上的分力：
$F_{2x}=F_2\cos120^{\circ}=30×(-\frac{1}{2})=-15N$，$F_{2y}=F_2\sin120^{\circ}=30×\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}N$。
$F_3$在$x$、$y$轴上的分力：$F_{3x}=40N$，$F_{3y}=0N$。
2. 求$x$轴方向的合力$F_x$和$y$轴方向的合力$F_y$：
$x$轴方向：$F_x = F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}=-10 - 15+40 = 15N$。
$y$轴方向：$F_y = F_{1y}+F_{2y}+F_{3y}=10\sqrt{3}+15\sqrt{3}+0 = 25\sqrt{3}N$。
3. 求合力$F$的大小：
根据勾股定理$F=\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}}$，将$F_x = 15N$，$F_y = 25\sqrt{3}N$代入可得：
$F=\sqrt{15^{2}+(25\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{225 + 1875}=\sqrt{2100}=10\sqrt{21}N\approx45.8N$。
4. 求合力$F$的方向：
设合力$F$与$x$轴正方向夹角为$\theta$，则$\tan\theta=\frac{F_y}{F_x}$。
$\tan\theta=\frac{25\sqrt{3}}{15}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$，$\theta = 60^{\circ}$，即合力方向与$F_3$夹角为$60^{\circ}$，与$F_2$夹角为$60^{\circ}$ 。
综上，这三个力的合力大小约为$45.8N$，方向与$F_3$夹角为$60^{\circ}$（或与$F_2$夹角为$60^{\circ}$）。