《2025年点金训练精讲巧练高中物理必修第一册教科版》

$3.$在一次竖直向上抛篮球的过程中，篮球运动$3\ s$到达最高点，将篮球的运动视为匀变速直线运动，篮球在第$2\ s$内位移的后$\frac{1}{3}$的位移用时为$t_1$，在第$1\ s$内位移的前$\frac{1}{5}$的位移用时为$t_2$，则$\frac{t_2}{t_1}$满足　　　　　　　

A.$\frac{1}{5} ＜ \frac{t_2}{t_1} ＜ \frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{4} ＜ \frac{t_2}{t_1} ＜ \frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{3} ＜ \frac{t_2}{t_1} ＜ \frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2} ＜ \frac{t_2}{t_1} ＜ 1$

答案： 3.C 解析：竖直向上抛出后，篮球做匀变速直线运动，经过3s速度减为零，可以从最高点开始逆向思维，把上升过程反过来看作自由落体运动。根据自由落体运动的公式$h=\frac{1}{2}gt^{2}$，得第1s内、第2s内、第3s内的位移之比为$h_{1}:h_{2}:h_{3}=1:3:5$。从最高点开始，设第1s内位移为$x$，则第2s内位移为$3x$，第3s内位移为$5x$。所以篮球上抛过程中第2s内位移的后$\frac{1}{3}$的位移为自由落体运动中的第2个$x$，上抛过程中第1s内位移的前$\frac{1}{5}$的位移即为自由落体运动中的第9个$x$，按照自由落体运动公式可得
$t_{1}=\sqrt{\frac{2×2x}{g}}-\sqrt{\frac{2x}{g}}$，$t_{2}=\sqrt{\frac{2×9x}{g}}-\sqrt{\frac{2×8x}{g}}$，所以
$\frac{t_{2}}{t_{1}}=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}-1}\approx0.41$，所以A、B、D错误，C正确。

$4.$(多选)高铁已经成为我国重要的交通运输工具。某同学在乘坐高铁时，为研究自身所乘列车的运动情况，采用每隔相同时间$T$，记录列车外面的输电线杆个数的方式来进行研究。假设列车做匀变速直线运动，相邻两输电线杆间的距离都为$d$。若该同学从某输电线杆开始计时并记为“第$1$杆”，第一个$T$时恰好记录“第$3$杆”，第二个$T$时恰好记录“第$6$杆”，第三个$T$时恰好记录“第$10$杆”，则根据他记录的信息，下列判断正确的是　　　　　　　

A.开始记录时列车速度为零
B.第四个$T$时恰好记录“第$15$杆”
C.列车运动的加速度为$\frac{d}{T^2}$
D.在第二个$T$时，列车的速度为$\frac{5d}{2T}$

答案： 4.BC 解析：根据初速度为零的匀加速直线运动位移公式$x=\frac{1}{2}at^{2}$可知，从开始运动后，相邻相等时间内的位移之比为$1:3:5:\cdots:(2n-1)$，而由题意可知列车从开始记录起，前三个相邻$T$时间内的位移之比为$(3-1)d:(6-3)d:(10-6)d=2:3:4$，所以开始记录时列车的速度不为零，故A错误；列车在相邻两个$T$时间内的位移之差均为$\Delta x=d=aT^{2}$，解得列车运动的加速度大小为$a=\frac{d}{T^{2}}$，且由前面分析可推知列车在第四个$T$时间内的位移为$5d$，则第四个$T$时恰好记录“第15杆”，故B、C正确；在第二个$T$时，列车的速度等于第一个$T$时和第三个$T$时之间的平均速度，即$\overline{v_{2T}}=\frac{(10-3)d}{2T}=\frac{7d}{2T}$，故D错误。

$5.$用雷达探测一高速飞行器的位置。从某时刻($t = 0$)开始的一段时间内，该飞行器可视为沿直线运动，每隔$1\ s$测量一次其位置，坐标为$x$，结果如下表所示：
回答下列问题：
$(1)$根据表中数据可判断该飞行器在这段时间内近似做匀加速运动，判断的理由是：
_。
$(2)$当$x = 507\ m$时，该飞行器速度的大小$v = $547$m/s$。
$(3)$这段时间内该飞行器加速度的大小$a = $79$m/s^2$(结果保留$2$位有效数字)。

答案： 5.解析：
(1)由题表中的数据知第1s内的位移507m，第2s内的位移587m，第3s内的位移665m，第4s内的位移746m，第5s内的位移824m，第6s内的位移904m，则相邻1s内的位移之差近似为一定值，接近$\Delta x=80m$，可判断飞行器在这段时间内做匀加速运动。
(2)当$x=507m$时飞行器的速度等于0~2s的平均速度，则$v_{1}=\overline{v_{1}}=\frac{1094}{2}m/s=547m/s$。
(3)$a=\frac{x_{36}-x_{03}}{9T^{2}}=\frac{4233-2×1759}{9×1^{2}}m/s^{2}\approx79m/s^{2}$。
答案：
(1)相邻1s内的位移之差近似为一定值，接近$\Delta x=80m$
(2)547
(3)79

$6.$一自行车以$6\ m/s$的速度沿平直的公路匀速运动，一汽车从静止开始与自行车同向做匀加速运动，加速度大小为$3\ m/s^2$。汽车开始运动时，自行车恰好与汽车车头相齐。
$(1)$汽车追上自行车之前经多长时间两者相距最远？最远距离是多少？
$(2)$汽车经过多长时间追上自行车？此时汽车的速度大小是多少？

答案： 6.解析：
(1)因汽车做匀加速运动，速度从零开始增加，但只要汽车的速度小于自行车的速度，两者的距离便不断增大，当两者速度相等时，距离最大。
设相距最远时的时间为$t_{1}$，有$t_{1}=\frac{v}{a}=\frac{6}{3}s=2s$，
由$x=\frac{1}{2}at_{1}^{2}$，得$x=\frac{1}{2}×3×2^{2}m=6m$，
自行车的位移$x'=vt_{1}=6×2m=12m$，
两者间的最大距离$x_{m}=x-x'=6m$。
(2)设汽车经过时间$t_{2}$追上自行车，此时两者位移相等，
则$\frac{1}{2}at_{2}^{2}=vt_{2}$，即$\frac{1}{2}×3× t_{2}^{2}=6t_{2}$，
解得$t_{2}=4s$(另一解不合题意，舍去)，
汽车的速度$v_{1}=at_{2}=3×4m/s=12m/s$。
答案：
(1)$2s6m$
(2)$4s12m/s$