《2025年点金训练精讲巧练高中物理必修第一册教科版》

任务三 匀变速直线运动规律在自由落体运动中的应用
1. (多选) 如图所示，一长 $ L = 0.05 \, m $ 的铁链用短绳悬挂在天花板上，铁链正下方 $ h = 0.2 \, m $ 处竖直放置一长度也为 $ h $、内径比铁链直径稍大的钢管。剪断轻绳，铁链由静止开始下落，不计空气阻力，取 $ g = 10 \, m/s^2 $，则()


A.铁链上端刚要进入钢管时的速度大小为 $ \sqrt{5} \, m/s $
B.铁链下端刚要穿出钢管时的速度大小为 $ 2\sqrt{2} \, m/s $
C.铁链通过钢管的时间为 $ 0.3 \, s $
D.铁链通过钢管的时间为 $ 0.1 \, s $

答案： 1. 首先求铁链上端刚要进入钢管时的速度：
根据自由 - 落体运动速度位移公式$v^{2}=2gh_1$（$h_1 = 0.2m$）。
则$v=\sqrt{2gh_1}=\sqrt{2×10×0.2}=\sqrt{4}=2m/s$，所以A错误。
2. 然后求铁链下端刚要穿出钢管时的速度：
铁链下端刚要穿出钢管时下落的高度$H=0.2 + 0.2+0.05=0.45m$。
根据$v^{2}=2gH$，可得$v=\sqrt{2gH}=\sqrt{2×10×0.45}=\sqrt{9}=3m/s$。
另一种方法：铁链下端刚要进入钢管时，根据$v_1^{2}=2gh$（$h = 0.2m$），$v_1=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.2}=2m/s$；铁链通过钢管过程，根据$v^{2}-v_1^{2}=2g(L + h)$（$L = 0.05m$，$h = 0.2m$），$v=\sqrt{v_1^{2}+2g(L + h)}=\sqrt{4 + 2×10×(0.05 + 0.2)}=\sqrt{4 + 5}=\sqrt{9}=3m/s$，所以B错误。
3. 接着求铁链通过钢管的时间：
方法一：
铁链下端刚要进入钢管时，根据$h=\frac{1}{2}gt_1^{2}$（$h = 0.2m$），由$t_1=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.2}{10}} = 0.2s$。
铁链上端刚要穿出钢管时，下落高度$h'=0.2 + 0.2+0.05=0.45m$，根据$h'=\frac{1}{2}gt_2^{2}$，$t_2=\sqrt{\frac{2h'}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.45}{10}} = 0.3s$。
则铁链通过钢管的时间$\Delta t=t_2 - t_1=0.3 - 0.2=0.1s$。
方法二：
铁链下端刚要进入钢管时速度$v_1=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.2}=2m/s$，铁链通过钢管过程，根据$L + h=v_1t+\frac{1}{2}gt^{2}$（$L = 0.05m$，$h = 0.2m$），即$0.05 + 0.2=2t+\frac{1}{2}×10t^{2}$。
整理得$5t^{2}+2t - 0.25 = 0$，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a = 5$，$b = 2$，$c=-0.25$），根据求根公式$t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 5}}{10}$，取正根$t = 0.1s$。
所以答案是D。

2. 如图所示，一滴雨滴从离地面 $ 20 \, m $ 高的楼房屋檐处自由下落，下落途中用 $ \Delta t = 0.2 \, s $ 的时间通过一个窗口，窗口的高度为 $ 2 \, m $，取 $ g = 10 \, m/s^2 $。求：
(1) 雨滴落地的速度大小；
(2) 雨滴落地前最后 $ 1 \, s $ 内的位移大小；
(3) 屋檐离窗的上边框的距离。

答案： 1. （1）
解：根据自由落体运动位移公式$h = \frac{1}{2}gt^{2}$，已知$h = 20m$，$g = 10m/s^{2}$，由$h=\frac{1}{2}gt^{2}$可得$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$。
代入数据$t=\sqrt{\frac{2×20}{10}}s = 2s$。
再根据速度公式$v = gt$，可得$v = 10×2m/s = 20m/s$。
2. （2）
解：雨滴在第$1s$内的位移$h_{1}=\frac{1}{2}gt_{1}^{2}$，其中$t_{1}=1s$，$g = 10m/s^{2}$。
则$h_{1}=\frac{1}{2}×10×1^{2}m = 5m$。
雨滴落地前最后$1s$内的位移$h'=h - h_{1}$，已知$h = 20m$，所以$h'=20 - 5m = 15m$。
3. （3）
解：设屋檐离窗的上边框的距离为$x$，雨滴从屋檐到窗的上边框的时间为$t_{0}$，则$x=\frac{1}{2}gt_{0}^{2}$，$x + 2=\frac{1}{2}g(t_{0}+\Delta t)^{2}$。
把$\Delta t = 0.2s$，$g = 10m/s^{2}$代入$x + 2=\frac{1}{2}g(t_{0}+\Delta t)^{2}$得$x + 2=\frac{1}{2}×10×(t_{0}+0.2)^{2}$，又$x=\frac{1}{2}×10× t_{0}^{2}$。
展开$x + 2 = 5(t_{0}^{2}+0.4t_{0}+0.04)$，即$x + 2 = 5t_{0}^{2}+2t_{0}+0.2$。
因为$x = 5t_{0}^{2}$，所以$5t_{0}^{2}+2 = 5t_{0}^{2}+2t_{0}+0.2$。
移项可得$2t_{0}=2 - 0.2$，解得$t_{0}=0.9s$。
则$x=\frac{1}{2}×10×0.9^{2}m = 4.05m$。
综上，（1）雨滴落地的速度大小为$20m/s$；（2）雨滴落地前最后$1s$内的位移大小为$15m$；（3）屋檐离窗的上边框的距离为$4.05m$。