《2025年点金训练精讲巧练高中物理必修第一册教科版》

[探究活动]
对初速度为零的匀变速直线运动，设 $ T $ 为时间单位，$ x $ 为位移单位。请根据“任务一”中速度和位移的基本公式推导下列比例关系并填空。
(1) $ 1T $ 末、$ 2T $ 末、$ 3T $ 末、$ \cdots $、$ nT $ 末的瞬时速度之比
由 $ v_t = at $，得 $ v_1 : v_2 : v_3 : \cdots : v_n = $1∶2∶3∶⋯∶n。
(2) 前 $ 1T $ 内、前 $ 2T $ 内、前 $ 3T $ 内、$ \cdots $、前 $ nT $ 内的位移之比
由 $ x = \frac{1}{2}at^2 $，得 $ x_1 : x_2 : x_3 : \cdots : x_n = $1²∶2²∶3²∶⋯∶n²。
(3) 第一个 $ T $ 内、第二个 $ T $ 内、第三个 $ T $ 内、$ \cdots $、第 $ N $ 个 $ T $ 内的位移之比
由 $ x_{I} = x_1 $，$ x_{II} = x_2 - x_1 $、$ \cdots $，可得 $ x_{I} : x_{II} : x_{III} : \cdots : x_N = $1∶3∶5∶⋯∶(2N - 1)。
(4) 通过前 $ 1x $、前 $ 2x $、前 $ 3x $、$ \cdots $、前 $ nx $ 所用时间之比
由 $ x = \frac{1}{2}at^2 $，知 $ t = \sqrt{\frac{2x}{a}} $，可得 $ t_1 : t_2 : t_3 : \cdots : t_n = $1∶√2∶√3∶⋯∶√n。
(5) 通过第 $ 1 $ 个 $ x $、第 $ 2 $ 个 $ x $、第 $ 3 $ 个 $ x \cdots \cdots $ 所用时间之比
由 $ t_{I} = t_1 $、$ t_{II} = t_2 - t_1 $、$ \cdots $、$ t_N = t_n - t_{n - 1} $，可得 $ t_{I} : t_{II} : t_{III} : \cdots : t_N = $1∶(√2 - 1)∶(√3 - √2)∶⋯∶(√n - √n - 1)。

答案：
(1)1∶2∶3∶⋯∶n
(2)1²∶2²∶3²∶⋯∶n²
(3)1∶3∶5∶⋯∶(2N - 1)
(4)1∶√2∶√3∶⋯∶√n
(5)1∶(√2 - 1)∶(√3 - √2)∶⋯∶(√n - √n - 1)

1. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第 $ 1 \, s $ 内与第 $ 2 \, s $ 内的位移之比为 $ x_1 : x_2 $，在走完第 $ 1 \, m $ 时与走完第 $ 2 \, m $ 时的速度之比为 $ v_1 : v_2 $。以下说法正确的是(B)

A.$ x_1 : x_2 = 1 : 3 $，$ v_1 : v_2 = 1 : 2 $
B.$ x_1 : x_2 = 1 : 3 $，$ v_1 : v_2 = 1 : \sqrt{2} $
C.$ x_1 : x_2 = 1 : 4 $，$ v_1 : v_2 = 1 : 2 $
D.$ x_1 : x_2 = 1 : 4 $，$ v_1 : v_2 = 1 : \sqrt{2} $

答案： 1.B 解析：由匀变速直线运动连续相等时间内的位移之比x₁∶x₂∶x₃∶⋯∶xₙ = 1∶3∶5∶⋯∶(2n - 1),知x₁∶x₂ = 1∶3。由x = 1/2at²知走完第1m和前2m的时间之比为t₁∶t₂ = 1∶√2,又由v = at,可得v₁∶v₂ = 1∶√2,选项B正确。

2. (多选)如图所示，水平地面上固定有两块木板 $ AB $、$ BC $，紧挨在一起，木板 $ AB $ 的长度是 $ BC $ 的 $ 3 $ 倍，一颗子弹以初速度 $ v_0 $ 从 $ A $ 端射入木板，并恰能从 $ C $ 端射出，用的时间为 $ t $，子弹在木板中的运动可以看成是匀变速运动，则以下说法正确的是(BD)


A.子弹到 $ B $ 点的速度为 $ \frac{v_0}{4} $
B.子弹到 $ B $ 点的速度为 $ \frac{v_0}{2} $
C.子弹从 $ A $ 到 $ B $ 的时间为 $ \frac{t}{4} $
D.子弹从 $ A $ 到 $ B $ 的时间为 $ \frac{t}{2} $

答案： 2.BD 解析：初速度为0的匀加速直线运动,相同时间的位移比为1∶3,可以把子弹的运动反向看成初速度为0的匀加速直线运动,由于木板AB的长度是BC的3倍,故子弹经过AB和BC的时间相等,均为t/2,故C错误,D正确；初速度为0的匀加速直线运动,经过连续的相同时间间隔的速度比为1∶2,由于子弹以初速度v₀从A端射入木板,可知子弹到B的速度为v₀/2,A错误,B正确。