《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

例 求下列直角三角形中未知边的长.

$x= $ 13
$y= $ 15
$b= $ $\sqrt{21}$

答案： 13；15；$\sqrt{21}$（或$\sqrt{21}$的同等表达形式，根据题目要求这里只需填数值相关的代表结果）
分别填：13；15；$\sqrt{21}$

同质训练 1 求下列直角三角形中未知边的长.

$z= $ ______
$c= $ ______
$a= $ ______

答案： 1. 对于第一个直角三角形：
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边），已知斜边$c = 20$，一条直角边$b = 16$，求另一条直角边$z$。
由$z=\sqrt{20^{2}-16^{2}}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，则$z=\sqrt{(20 + 16)(20 - 16)}=\sqrt{36×4}=\sqrt{144}=12$。
2. 对于第二个直角三角形：
已知两条直角边$a = b = 1$，求斜边$c$。
根据勾股定理$c=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}$。
3. 对于第三个直角三角形：
已知一条直角边$b = 3$，斜边$c = 4$，求另一条直角边$a$。
由$a=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{16 - 9}=\sqrt{7}$。
故答案依次为：$12$；$\sqrt{2}$；$\sqrt{7}$。

同质训练 2 求出下列各图中的线段长度或正方形的面积.(图中的三角形均为直角三角形)

$A= $ ______
$y= $ ______
$B= $ ______

答案： 1. 对于求$A$：
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方），若以直角三角形三边作正方形，那么两个直角边为边长的正方形面积之和等于斜边为边长的正方形面积。
设直角三角形三边分别为$a$，$b$，$c$（$c$为斜边），$A = a^{2}$，$64 = b^{2}$，$289 = c^{2}$，则$A+64 = 289$。
所以$A=289 - 64=225$。
2. 对于求$y$：
已知直角三角形两直角边分别为$15$和$36$，根据勾股定理$y=\sqrt{15^{2}+36^{2}}$（$y$为斜边）。
先计算$15^{2}+36^{2}=225 + 1296=1521$，又因为$39^{2}=1521$，所以$y = 39$。
3. 对于求$B$：
设直角三角形三边分别为$a = 8$，$c = 17$（$c$为斜边），$b$为另一条直角边，$B=b^{2}$。
根据勾股定理$b^{2}=c^{2}-a^{2}$，则$B=17^{2}-8^{2}$。
计算$17^{2}-8^{2}=(17 + 8)(17 - 8)=25×9 = 225$。
故答案依次为：$225$；$39$；$225$。

例 在数轴上画出 $\sqrt{5}$ 对应的点.

答案： 答题卡：
勾股数中，可选$a=2$，$b=1$（答案不唯一），
根据勾股定理：
$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$。
在数轴上画直角坐标系，以原点为起点，沿x轴正方向取2个单位长度至点A(2,0)，再从点A沿y轴正方向取1个单位长度至点B(2,1)，连接OB；
以O为圆心，OB长为半径画弧，交x轴正半轴于点P，则点P对应的数即为$\sqrt{5}$。

同质训练 在数轴上画出 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{13}$ 对应的点.

答案： 答题卡：
画数轴，原点为$O$，正方向向右，单位长度为$1$。
画$\sqrt{3}$对应的点$A$：
过表示数$1$的点$B$作数轴的垂线$l$。
在$l$上用圆规量取$OB=\sqrt{1^2} = 1$的长度（实际$OB$为水平长度，此处为构建直角三角形），再在$l$上以$B$为起点，向上量取$BC = \sqrt{2}$（通过构建两直角边为$1$和$\sqrt{2}$（可由另一个边长为$1$的正方形对角线得到），根据勾股定理，斜边$AC=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{3}$），取$C$点，使$BC = \sqrt{2}$（可通过构建边长为$1$的正方形，其对角线长度为$\sqrt{2}$）。
连接$OC$，以$O$为圆心，$OC$长为半径画弧，交数轴正半轴于点$A$，则点$A$表示$\sqrt{3}$。
画$\sqrt{13}$对应的点$D$：
过表示数$2$的点$E$作数轴的垂线$m$。
在$m$上以$E$为起点，向上量取$EF = 3$。
连接$OF$，以$O$为圆心，$OF$长为半径（根据勾股定理，$OF=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$）画弧，交数轴正半轴于点$D$，则点$D$表示$\sqrt{13}$。