《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

例 2 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,$DE // BC$.求证:$\triangle ADE$ 是等边三角形.

答案：
∵ $\triangle ABC$是等边三角形，
∴ $\angle A = \angle B = \angle C = 60°$。
∵ $DE // BC$，
∴ $\angle ADE = \angle B = 60°$，$\angle AED = \angle C = 60°$。
∴ $\triangle ADE$的三个内角均为$60°$。
因此，$\triangle ADE$是等边三角形。

同质训练 2 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 60^{\circ}$,$OB = OC$,$BD \perp AC$,$CE \perp AB$,垂足分别为 $D$,$E$,且 $BD$ 与 $CE$ 相交于点 $O$.求证:$\triangle ABC$ 为等边三角形.

答案： 证明：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°（垂直的定义）。
在Rt△ABD中，∠A=60°，
∴∠ABD=90°-∠A=30°（直角三角形两锐角互余）。
同理，在Rt△ACE中，∠ACE=90°-∠A=30°。
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）。
设∠OBC=∠OCB=x，
则∠ABC=∠ABD+∠OBC=30°+x，
∠ACB=∠ACE+∠OCB=30°+x。
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC（等角对等边）。
∵∠A=60°且AB=AC，
∴△ABC为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。

例 用两个含 $30^{\circ}$ 角的三角板拼一个三角形,这个三角形是等边三角形吗? $30^{\circ}$ 角所对的直角边和斜边有什么关系?

答案： 答题卡：
两个含$30^{\circ}$角的三角板拼成的三角形是等边三角形。
设三角板$30^{\circ}$角所对的直角边为$a$，另一条直角边为$b$，斜边为$c$。
在含$30^{\circ}$角的直角三角形中，根据直角三角形中$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，可得$a = \frac{1}{2}c$。
当用两个这样的三角板拼三角形时，两条长度为$a$的边重合组成新三角形的一条边，两条长度为$c$的边分别成为新三角形的两条边，且由于三角板内角为$30^{\circ}$、$60^{\circ}$、$90^{\circ}$，拼成的三角形三个角分别为$60^{\circ}$、$60^{\circ}$、$60^{\circ}$，三个角相等且三条边相等（因为两条$a$边重合后长度与$c$边存在$2a = c$的关系，拼成的三角形三边都为$c$），所以是等边三角形。
$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半。

同质训练 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$\angle C = 30^{\circ}$,$BD \perp AC$,垂足为 $D$.求证:$CA = 4DA$.

答案： 在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=60°，且AC为斜边，∠C所对直角边为AB，
根据含30°角的直角三角形性质，AB=1/2AC，即AC=2AB。
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠A=60°，
∴∠ABD=180°-∠ADB-∠A=30°，
∠ABD所对直角边为AD，斜边为AB，
根据含30°角的直角三角形性质，AD=1/2AB，即AB=2AD。
∴AC=2AB=2×2AD=4AD，
即CA=4DA。