《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

如图,∠1= ∠2,请你添加一个条件,求证:BD= CD.
(1) 请写出三种添加一个条件的方案;
(2) 选择一种添加条件的方案,然后写出证明过程.

答案：
(1) 方案一：添加条件 $AB = AC$；
方案二：添加条件 $\angle B = \angle C$；
方案三：添加条件 $AD \perp BC$。
(2) 选择方案一：添加条件 $AB = AC$。
证明：
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，
$\begin{cases}AB = AC, \\\angle 1 = \angle 2, \\AD = AD.\end{cases}$
根据$SAS$（两边及夹角）全等条件，
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle ACD$，
根据全等三角形的对应边相等，
$\therefore BD = CD$。

例 2
如图,在△ABC 中,EF 垂直平分 AC,交 AC 于点 F,交 BC 于点 E,AD⊥BC,垂足为 D,且 BD= DE,连接 AE.
(1) 求证:AB= EC;
(2) 若△ABC 的周长为 19 cm,AC= 8 cm,求 DC 的长.

答案：
(1) 见证明过程；
(2) 5.5cm。

如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 E,交 AB 于点 F,D 为线段 CE 的中点,BE= AC.
(1) 求证:AD⊥BC;
(2) 若∠B= 35°,求∠C 的度数.

答案：
(1) 见上述证明；
(2) 70°

例 3
如图,∠AOC 和∠BOD 共顶点,∠BOD 为直角,OC 是∠BOD 的平分线,∠AOB= 150°.
(1) 求∠AOC 的度数;
(2) 若∠BOE:∠AOD= 2:3,求∠COE 的度数.

答案：
(1)
∵∠BOD为直角，
∴∠BOD=90°．
∵OC是∠BOD的平分线，
∴∠BOC=∠COD=45°．
∵∠AOB=150°，∠AOB=∠AOD+∠DOB，∠DOB=90°，
∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=150°-90°=60°．
∴∠AOC=∠AOD+∠DOC=60°+45°=105°．
(2)
∵∠BOE:∠AOD=2:3，∠AOD=60°，
∴∠BOE=（2/3）×60°=40°．
当OE在∠BOC内部时，∠COE=∠BOC-∠BOE=45°-40°=5°；
当OE在∠BOC外部（OB下方）时，∠COE=∠BOC+∠BOE=45°+40°=85°．
综上，∠COE=5°或85°．

已知∠AOB= 80°,∠COD= 60°,OM,ON 分别平分∠AOC,∠BOD.
(1) 如图①,当 OB 与 OC 重合时,∠MON 的度数是70°;
(2) 若图①中∠AOB 不动,将∠COD 从图①的位置开始绕点 O 顺时针旋转.
① 如图②,当∠BOC= 10°时,求∠MON 的度数;
② 当∠BOC= α(60°＜α＜80°)时,直接用等式表示∠AOM 与∠DON 的数量关系.

答案：
(1) 70°
(2) ①
∵∠AOB=80°，∠BOC=10°，
∴∠AOC=∠AOB - ∠BOC=70°
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC=∠AOC/2=35°
∵∠COD=60°，∠BOC=10°，
∴∠BOD=∠COD - ∠BOC=50°
∵ON平分∠BOD，
∴∠BON=∠BOD/2=25°
∵∠MON=∠MOC + ∠BOC + ∠BON=35°+10°+25°=70°
② ∠AOM + ∠DON=10°