《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

例 2 找一个有理数$a$,使得$\sqrt{2} ＜ a ＜ \sqrt{3}$.

答案： 因为$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，所以可取$a = 1.5$（答案不唯一）。
$1.5$

同质训练 2 你能找到一个无理数$a$,使得$\sqrt{2} ＜ a ＜ \sqrt{3}$吗？

答案： 答题卡：
可以找到这样的无理数$a$，例如$a = \sqrt{2.5}$（答案不唯一）。
因为$2＜2.5＜3$，根据算术平方根的性质，若$0 ＜ b ＜ c$，则$\sqrt{b} ＜ \sqrt{c}$，所以$\sqrt{2}＜\sqrt{2.5}＜\sqrt{3}$，且$\sqrt{2.5}$是无理数。

例 3 设$m是\sqrt{5}$的整数部分,$n是\sqrt{5}$的小数部分,试求$m - n$的值.

答案： $4 - \sqrt{5}$

同质训练 3 已知$5 + \sqrt{5}与5 - \sqrt{5}的小数部分分别是a和b$,求$(a + b)(a - b)$的值.

答案： 解：
因为 $2^2 = 4 ＜ 5 ＜ 3^2 = 9$，所以 $2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$。
因此，$5 + \sqrt{5}$ 的整数部分为 $7$（因为 $5+2=7$），小数部分 $a = 5 + \sqrt{5} - 7 = \sqrt{5} - 2$。
同理，$5 - \sqrt{5}$ 的整数部分为 $2$（因为 $5-3=2$），小数部分 $b = 5 - \sqrt{5} - 2 = 3 - \sqrt{5}$。
接下来，计算 $(a + b)(a - b)$：
$(a + b)(a - b) = (\sqrt{5} - 2 + 3 - \sqrt{5})(\sqrt{5} - 2 - 3 + \sqrt{5})$
$= (1)(2\sqrt{5} - 5)$
$= 2\sqrt{5} - 5$

例 4 (1)比较$\sqrt{3}与\sqrt{7}$的大小,说说你的方法.
(2)估计$\sqrt{3}比2$大还是小,$\sqrt{7}比2$大还是小.

答案：
(1) 因为 $3＜7$，且平方根函数在正数范围内是单调递增的，所以 $\sqrt{3} ＜ \sqrt{7}$。
(2)
* 对于 $\sqrt{3}$ 与 2 的比较，由于 $1^2 = 1 ＜ 3 ＜ 2^2 = 4$，所以 $1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，即 $\sqrt{3} ＜ 2$。
* 对于 $\sqrt{7}$ 与 2 的比较，由于 $2^2 = 4 ＜ 7$，所以 $\sqrt{7} ＞ 2$。

同质训练 4 比较$-\sqrt{3}与-2$的大小,说说你的方法.

答案： 比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小。
因为$\vert -\sqrt{3}\vert=\sqrt{3}$，$\vert -2\vert=2$。
又因为$(\sqrt{3})^2 = 3$，$2^2 = 4$，且$3\lt4$，所以$\sqrt{3}\lt2$。
所以$-\sqrt{3}\gt -2$。
结论：$-\sqrt{3}\gt -2$

同质训练 5 比较$\sqrt{5} - 1与1$的大小.

答案： 要比较$\sqrt{5} - 1$与$1$的大小，可作差比较：
$\begin{aligned}(\sqrt{5} - 1) - 1&=\sqrt{5} - 2\\\end{aligned}$
因为$\sqrt{4}=2$，且$5＞4$，根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根越大，所以$\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，即$\sqrt{5}-2＞0$。
因此$\sqrt{5}-1 - 1＞0$，可得$\sqrt{5}-1＞1$。
结论：$\sqrt{5}-1＞1$