《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

例1 如图,$ AD,BC $ 相交于点 $ O,AD = BC,\angle C = \angle D = 90^{\circ} $.求证:$ AO = BO,CO = DO $.

答案： 证明：在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∵∠C=∠D=90°，
BC=AD，AB=BA，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），
∴AC=BD。
在△AOC和△BOD中，
∵∠C=∠D=90°，
∠AOC=∠BOD，
AC=BD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴AO=BO，CO=DO。

同质训练1 如图,$ AD = BC,CA \perp AB,AC \perp CD $.求证:$ AD // BC $.

答案： 证明：
∵CA⊥AB，AC⊥CD，
∴∠BAC=∠DCA=90°。
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
AD=BC，AC=CA，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）。
∴∠ACB=∠CAD。
∴AD//BC。

例2 如图,$ AB = DF,CF = EB,AC \perp CE,DE \perp CE $,垂足分别为 $ C,E $.$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEF $ 全等吗? 为什么?

答案： $\triangle ABC\cong\triangle DFE$，理由如下：
$\because AC\perp CE$，$DE\perp CE$，
$\therefore \angle C=\angle E=90°$。
$\because CF=EB$，
$\therefore CF-BF=EB-BF$，即$CB=EF$。
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DFE$中，
$\begin{cases} AB=DF, \\ CB=EF, \end{cases}$
$\therefore Rt\triangle ABC\congRt\triangle DFE(HL)$。

同质训练2 如图,$ AB = CD,E,F $ 在边 $ AC $ 上,$ \angle AFB = \angle CED = 90^{\circ},AE = CF $.
(1) $ \triangle ABF $ 与 $ \triangle CDE $ 全等吗? 为什么?
(2) 你发现 $ AB $ 与 $ CD $ 除相等外还有什么关系?

答案：
(1) 全等，理由如下：
已知$AE = CF$，则$AE + EF = CF + EF$，即$AF = CE$。
在$Rt\triangle ABF$和$Rt\triangle CDE$中，
$\begin{cases}AB = CD,\\AF = CE.\end{cases}$
根据“$HL$”判定定理，$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE$。
(2) $AB$与$CD$除相等外，还满足$AB// CD$。