《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

例 在弹性限度内,弹簧长度 y(单位：cm)是所挂物体质量 x(单位：g)的一次函数.已知一根弹簧挂 10 g 物体时的长度为 11 cm,挂 30 g 物体时的长度为 15 cm,求 y 关于 x 的函数表达式.
归纳小结：先设含有未知系数的函数表达式,再根据条件求出这些未知系数的值,从而确定函数表达式的方法叫作待定系数法.用待定系数法求一次函数表达式的四个步骤：设，列，解，写（或 设函数表达式，列方程（组），解方程（组），写函数表达式）.

答案： 设弹簧长度 $y$ 关于物体质量 $x$ 的函数表达式为 $y = kx + b$（其中 $k \neq 0$）。
根据题意，当 $x = 10$ 时，$y = 11$；当 $x = 30$ 时，$y = 15$。
代入得：
$\begin{cases}10k + b = 11, \\30k + b = 15.\end{cases}$
两式相减，得：
$20k = 4 \implies k = 0.2$，
将 $k = 0.2$ 代入 $10k + b = 11$，得：
$b = 11 - 10 × 0.2 = 9$，
因此，弹簧长度 $y$ 关于物体质量 $x$ 的函数表达式为 $y = 0.2x + 9$。
归纳小结：设，列，解，写（或 设函数表达式，列方程（组），解方程（组），写函数表达式 ）。

一盘蚊香长 105 cm,点燃后,每小时缩短 10 cm.
(1) 写出蚊香点燃后的长度 y(单位：cm)关于蚊香燃烧时间 t(单位：h)的函数表达式；
(2) 该盘蚊香可燃烧多长时间？

答案：
(1) 由题意，得 $ y = 105 - 10t $，其中 $ t \geq 0 $ 且 $ 105 - 10t \geq 0 $，即 $ 0 \leq t \leq 10.5 $。
(2) 令 $ y = 0 $，则 $ 105 - 10t = 0 $，解得 $ t = 10.5 $。
答：
(1) 函数表达式为 $ y = 105 - 10t(0 \leq t \leq 10.5) $；
(2) 该盘蚊香可燃烧 $ 10.5 $ 小时。

在一次函数中,当$x = 1$时,$y = 3$；当$x = -1$时,$y = 7$,求这个一次函数的表达式.

答案： 设一次函数表达式为$y = kx + b$（$k \neq 0$，$k$、$b$为常数）。
把$x = 1$，$y = 3$代入$y = kx + b$，得$3 = k + b$ ①；
把$x = -1$，$y = 7$代入$y = kx + b$，得$7 = -k + b$ ②；
①+②得：$3 + 7=k + b - k + b$，即$10 = 2b$，解得$b = 5$；
把$b = 5$代入①得：$3 = k + 5$，解得$k = -2$。
所以，这个一次函数的表达式为$y = -2x + 5$。