《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

请尝试给等边三角形下定义.

答案： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

例 等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有哪些性质?

答案： 1. 等边三角形的三条边都相等；
2. 等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都等于60°；
3. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线和所对角的平分线所在的直线；
4. 等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合。

同质训练 如图,$BD$,$CE$ 是等边三角形 $ABC$ 的中线,求 $\angle 1$,$\angle 2$,$\angle 3$,$\angle 4$ 的度数.

答案：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°。
∵BD，CE是中线，
∴AE=BE=1/2AB，AD=CD=1/2AC，
∴BE=CD。
在△BEC和△CDB中，
BE=CD，∠ABC=∠ACB，BC=CB，
∴△BEC≌△CDB（SAS），
∴∠1=∠2。
∵CE是中线，△ABC是等边三角形，
∴CE平分∠ACB，
∴∠ECB=1/2∠ACB=30°，
同理∠DBC=30°，
∴∠1=∠2=30°。
在△BOC中（O为BD，CE交点），∠3=180°-∠1-∠ECB=180°-30°-30°=120°。
∠4=∠AEC-∠ADB（此处表述不准确，应为对顶角相等，∠4=∠3=120°）。
∠1=30°，∠2=30°，∠3=120°，∠4=120°。

例 1 如果一个三角形的三个角都相等,那么这个三角形是等边三角形吗?

答案： 是等边三角形。
证明：设三角形三个角分别为∠A、∠B、∠C，且∠A=∠B=∠C。
因为三角形内角和为180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，即3∠A=180°，∠A=60°，则∠B=∠C=60°。
因为∠A=∠B，所以BC=AC（等角对等边）；
因为∠B=∠C，所以AC=AB（等角对等边）；
所以AB=BC=AC，故该三角形是等边三角形。

同质训练 1 有一个角是 $60^{\circ}$ 的等腰三角形是等边三角形吗? 为什么?

答案： 设该等腰三角形为$\triangle ABC$。
若顶角为$60^{\circ}$：
已知$\angle A = 60^{\circ}$，$AB = AC$。
因为$AB = AC$，根据等腰三角形性质，$\angle B = \angle C$。
由三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle B+\angle C = 180^{\circ}-\angle A = 120^{\circ}$。
又因为$\angle B = \angle C$，所以$\angle B=\angle C = 60^{\circ}$。
三个角都为$60^{\circ}$的三角形是等边三角形，所以$\triangle ABC$是等边三角形。
若底角为$60^{\circ}$：
不妨设$\angle B = 60^{\circ}$，$AB = AC$，则$\angle C = 60^{\circ}$。
由三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle A=180^{\circ}-\angle B - \angle C = 60^{\circ}$。
三个角都为$60^{\circ}$的三角形是等边三角形，所以$\triangle ABC$是等边三角形。
综上，有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形。

归纳小结: 三条边都相等的三角形是等边三角形; 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

答案： 三条边都相等；有一个角是60°