《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

同质训练 作出下列三角形的三条角平分线,并说说你的发现.

答案： （画图步骤略，实际作答需按尺规作图规范作出三条角平分线）
发现：任意三角形的三条角平分线相交于一点，且该点在三角形内部。

例 在三角形中,从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线,顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线,简称三角形的高.
几何语言：如图,AH⊥BC,垂足为H,线段AH是△ABC的边BC上的高,必有∠AHB= ∠AHC= 90°.

归纳小结：三角形的高必为线段；三角形的高必过顶点垂直于对边；三角形有三条高.

答案： 顶点；对边所在直线画；垂足；线段；AHB；AHC；线段；垂直；三

同质训练 作出下列三角形的三条高,并思考下列问题：三角形的三条高交于一点吗？高与三角形的位置关系是怎样的？交点与三角形的位置关系又是怎样的呢？

答案： 答题
1. 作图：
锐角三角形：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是三角形的高。分别从三个顶点向对边作垂线，得到锐角三角形的三条高，这三条高相交于三角形内一点。
直角三角形：两条直角边互为对方的高，从直角顶点向斜边作垂线为第三条高，三条高相交于直角顶点。
钝角三角形：钝角两边上的高在三角形外部，从钝角的两个邻边顶点向对边作垂线在三角形内部，延长钝角所对的边，从钝角顶点向对边延长线作垂线，三条高所在直线相交于三角形外一点。
2. 回答问题：
三角形的三条高所在直线交于一点。
锐角三角形的三条高在三角形内部；直角三角形两条高在边上，一条高在三角形内部；钝角三角形两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。
锐角三角形三条高的交点在三角形内部；直角三角形三条高的交点为直角顶点；钝角三角形三条高的交点在三角形外部。

例 如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,AE是∠BAC的平分线,AF是边BC上的高.
(1)△ABD与△ADC之间的面积关系为$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}$.
(2)若BC= 8cm,AF= 3cm,则△ABD的面积是6$cm^2.$
(3)若∠B= 42°,∠C= 70°,则∠FAE的度数是$14^{\circ}$.

答案：
(1)
因为$AD$是边$BC$上的中线，所以$BD = DC$，点$A$到$BC$的距离就是$\triangle ABD$与$\triangle ADC$的高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可知$\triangle ABD$与$\triangle ADC$等底等高，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}$。
(2)
因为$AD$是$BC$边上的中线，$BC = 8cm$，所以$BD=\frac{1}{2}BC = 4cm$。
又因为$AF$是边$BC$上的高，所以$AF$为$\triangle ABD$中$BD$边上的高，$AF = 3cm$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可得$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× BD× AF=\frac{1}{2}×4×3 = 6cm^{2}$。
(3)
因为$AF$是边$BC$上的高，所以$\angle AFC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle B = 42^{\circ}$，$\angle C = 70^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C=180^{\circ}-42^{\circ}-70^{\circ}=68^{\circ}$。
因为$AE$是$\angle BAC$的平分线，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC = 34^{\circ}$。
在$\triangle ABF$中，$\angle B = 42^{\circ}$，$\angle AFC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAF = 90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-42^{\circ}=48^{\circ}$。
则$\angle FAE=\angle BAF-\angle BAE = 48^{\circ}-34^{\circ}=14^{\circ}$。
综上，答案依次为：
(1)$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}$；
(2)$6$；
(3)$14^{\circ}$。

同质训练 如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,AE是∠BAC的平分线,AF是边BC上的高.
(1)若AB= 10cm,AC= 4cm,则△ABD与△ACD的周长之差为6cm.
(2)若∠B= m°,∠C= n°,求∠FAE的度数.
$\frac{|m - n|}{2}$°

答案：
(1)
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
△ABD周长=AB+BD+AD，△ACD周长=AC+CD+AD。
周长差=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC。
∵AB=10cm，AC=4cm，
∴10-4=6(cm)。
(2) 在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-m°-n°。
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC/2=(180°-m°-n°)/2=90°-(m+n)/2 °。
∵AF是BC边上的高，
∴∠AFC=90°，在Rt△AFC中，∠CAF=90°-∠C=90°-n°。
∴∠FAE=∠CAF-∠CAE=(90°-n°)-[90°-(m+n)/2 °]=(m-n)/2 °。
(1) 6
(2) $\frac{|m - n|}{2}$°