《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

例 1 如图,$A$,$B分别是线段OD$,$OC$上的点,$OC = OD$,$OA = OB$. 求证：$\triangle OAC \cong \triangle OBD$.

答案： 在$\triangle OAC$和$\triangle OBD$中，
$\begin{cases}OA = OB,\\\angle AOC = \angle BOD（对顶角相等）, \\OC = OD.\end{cases}$
所以$\triangle OAC \cong \triangle OBD(SAS)$。

同 质 训 练 1 如图,$AB = AD$,$\angle BAC = \angle DAC$. 求证：$\triangle ABC \cong \triangle ADC$.

答案： 在$\triangle ABC$和$\triangle ADC$中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AD\\ \angle BAC=\angle DAC\\ AC=AC\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABC\cong \triangle ADC(SAS)$

例 2 如图,$AB = AC$,$AD = AE$,$\angle 1 = \angle 2$. 求证：$\triangle ABD \cong \triangle ACE$.

答案： 证明：
因为$\angle 1 = \angle 2$，
所以$\angle 1+\angle BAE=\angle 2 + \angle BAE$，
即$\angle BAD = \angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，
$\begin{cases}AB = AC,\\\angle BAD = \angle CAE,\\AD = AE.\end{cases}$
所以$\triangle ABD\cong \triangle ACE(SAS)$。

同 质 训 练 2 如图,$AB = DB$,$BC = BE$,$\angle 1 = \angle 2$. 求证：
(1)$\triangle ABE \cong \triangle DBC$；
(2)$\angle E = \angle C$.

答案： 答题卡：
(1) 证明：
$\because \angle 1 = \angle 2$，
$\therefore \angle 1 + \angle DBE = \angle 2 + \angle DBE$，
即$\angle ABE = \angle DBC$。
在$\triangle ABE$和$\triangle DBC$中，
$\begin{cases}AB = DB, \\ \angle ABE = \angle DBC, \\ BE = BC.\end{cases}$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle DBC(SAS)$。
(2) 由
(1)知$\triangle ABE \cong \triangle DBC$，
$\therefore \angle E = \angle C$。

例 3 如图,$C是线段AB$的中点,$CD平分\angle ACE$,$CE平分\angle BCD$,$CD = CE$. 求证：$\triangle ACD \cong \triangle BCE$.

答案： 证明：
∵C是线段AB的中点（已知），
∴AC=BC（中点的定义）.
∵CD平分∠ACE（已知），
∴∠ACD=∠DCE（角平分线的定义）.
∵CE平分∠BCD（已知），
∴∠DCE=∠ECB（角平分线的定义）.
∴∠ACD=∠DCE=∠ECB（等量代换）.
∵点C在AB上，
∴∠ACB=180°（平角的定义）.
又
∵∠ACB=∠ACD+∠DCE+∠ECB，
∴∠ACD+∠DCE+∠ECB=180°.
设∠ACD=∠DCE=∠ECB=x，则3x=180°，解得x=60°.
∴∠ACD=∠BCE=60°（等量代换）.
在△ACD和△BCE中，
$\begin{cases} AC=BC \\∠ACD=∠BCE \\CD=CE \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE（SAS）.

同 质 训 练 3 如图,点$E$,$F在AC$上,且$AE = CF$,$AD = CB$,$AD // BC$. 求证：$\triangle ADF \cong \triangle CBE$.

答案： 证明：
∵ $AD // BC$，
∴ $\angle A = \angle C$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AE = CF$，
∴ $AE - EF = CF - EF$，即 $AF = CE$。
在$\triangle ADF$和$\triangle CBE$中，
$\begin{cases} AD = CB, \\\angle A = \angle C, \\AF = CE,\end{cases}$
∴ $\triangle ADF \cong \triangle CBE$（SAS）。