《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

例 2 用函数表达式表示下列变化过程中两个变量之间的关系,并指出其中的一次函数、正比例函数。
(1)正方形的面积 $ S $ 随边长 $ x $ 的变化而变化；
(2)正方形的周长 $ l $ 随边长 $ x $ 的变化而变化；
(3)长方形的长为常量 $ a $ 时,面积 $ S $ 随宽 $ x $ 的变化而变化；
(4)高速列车以 300 km/h 的速度驶离 $ A $ 站,列车行驶的路程 $ y $(单位：km)随行驶时间 $ t $(单位：h)的变化而变化；
(5)如图,$ A $,$ B $ 两站相距 200 km,一列火车从 $ B $ 站出发以 120 km/h 的速度驶向 $ C $ 站,火车离 $ A $ 站的路程 $ y $(单位：km)随行驶时间 $ t $(单位：h)的变化而变化。

答案：
(1) $ S = x^2 $，不是一次函数，不是正比例函数。
(2) $ l = 4x $，是一次函数，是正比例函数。
(3) $ S = ax $，是一次函数，当 $ a \neq 0 $ 时是正比例函数。
(4) $ y = 300t $，是一次函数，是正比例函数。
(5) $ y = 200 + 120t $，是一次函数，不是正比例函数。

例 3 (1)当 $ m $ 取什么值时,$ y = (m + 2)x + m^2 - 4 $ 是正比例函数？
(2)当 $ m $ 为何值时,$ y = (m - 3)x^{|m| - 2} + 7 $ 是一次函数？

答案：
(1)
要使$y = (m + 2)x + m^2 - 4$是正比例函数，需满足：
$\begin{cases}m + 2 \neq 0, \\m^2 - 4 = 0,\end{cases}$
由$m^2 - 4 = 0$，解得$m = \pm 2$，
由$m + 2 \neq 0$，得$m \neq -2$，
所以，$m = 2$。
(2)
要使$y = (m - 3)x^{|m| - 2} + 7$是一次函数，需满足：
$\begin{cases}|m| - 2 = 1, \\m - 3 \neq 0,\end{cases}$
由$|m| - 2 = 1$，得$|m| = 3$，即$m = \pm 3$，
由$m - 3 \neq 0$，得$m \neq 3$，
所以，$m = -3$。

同质训练 2 下列说法中,不正确的是(D)
A.一次函数不一定是正比例函数
B.不是一次函数就一定不是正比例函数
C.正比例函数是特殊的一次函数
D.不是正比例函数就一定不是一次函数

答案： D

例 4 我们知道,海拔每上升 1 km,气温下降 $ 6^{\circ}C $。某时刻,某地地面气温为 $ 20^{\circ}C $,设高出地面 $ x $ km 处的气温为 $ y^{\circ}C $。
(1)写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并判断该函数是不是一次函数；
(2)已知某山峰高出地面约 500 m,求这时山顶的气温；
(3)此刻有一架飞机飞过该地上空,若机舱内仪表显示飞机外面的气温为 $ -34^{\circ}C $,求飞机离地面的高度。

答案：
(1)根据题意，每上升1km，气温下降6℃，所以x km后，气温下降6x℃。
因此，函数表达式为：
$y = 20 - 6x$
此函数满足一次函数的一般形式 $y = kx + b$（其中k，b为常数，$k\ne 0$），所以它是一次函数。
(2)500m等于0.5km，将 $x = 0.5$ 代入 $y = 20 - 6x$ 得：
$y = 20 - 6 × 0.5 = 17(℃)$
所以，这时山顶的气温为17℃。
(3)将 $y = -34$ 代入 $y = 20 - 6x$ 得：
$-34 = 20 - 6x$
移项得：
$-54 = -6x$
从而，
$x = 9$
所以，飞机离地面的高度为9km。

同质训练 3 为了加强居民的节水意识,某市制定了如下居民用水收费标准：每户每月的用水量不超过 10 t,水价为每吨 1.2 元；超过 10 t 后,超过的部分按每吨 1.8 元收费。已知该市某户居民 5 月份用水 $ x $ t,应缴水费 $ y $ 元,请写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并判断 $ y $ 是 $ x $ 的什么函数。

答案： 当 $0 \leq x \leq 10$ 时，$y = 1.2x$；
当 $x ＞ 10$ 时，$y = 1.2×10 + 1.8(x - 10) = 12 + 1.8x - 18 = 1.8x - 6$。
综上，$y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为：
$y = \begin{cases} 1.2x & (0 \leq x \leq 10) \\1.8x - 6 & (x ＞ 10)\end{cases}$
因为函数表达式是分段的一次函数，所以 $y$ 是 $x$ 的分段一次函数。