《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

例 2 下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
(1)$\sqrt{5}$；(2)$-\sqrt{3}$；(3)$\sqrt{-3}$；(4)$\sqrt{(-3)^{2}}$；(5)$\sqrt{-3^{2}}$。

答案：
(1) 对于 $\sqrt{5}$：
因为$5 ＞ 0$，根据算术平方根的定义，正数的算术平方根有意义。
所以 $\sqrt{5}$ 有意义。
(2) 对于 $-\sqrt{3}$：
因为$3 ＞ 0$，其算术平方根存在，因此$-\sqrt{3}$（即算术平方根的相反数）同样有意义，是一个确定的实数。
所以$-\sqrt{3}$ 有意义。
(3) 对于 $\sqrt{-3}$：
因为 $-3 ＜ 0$，根据算术平方根的定义，负数没有算术平方根。
所以 $\sqrt{-3}$ 无意义。
(4) 对于 $\sqrt{(-3)^{2}}$：
首先计算 $(-3)^{2} = 9$，因为 $9 ＞ 0$，所以 $\sqrt{9}$ 有意义。
所以$\sqrt{(-3)^{2}}$ 有意义。
(5) 对于 $\sqrt{-3^{2}}$：
首先计算 $-3^{2} = -9$，因为 $-9 ＜ 0$，根据算术平方根的定义，负数没有算术平方根。
所以 $\sqrt{-3^{2}}$ 无意义。

同质训练 2 下列各式有意义的条件是什么？
(1)$\sqrt{x + 3}$；(2)$\sqrt{b - \frac{1}{4}}$；(3)$\sqrt{x - 2}$；
(4)$\sqrt{2 - x}$；(5)$\sqrt{x^{2} + 3}$。

答案：
(1) $x \geq -3$
(2) $b \geq \frac{1}{4}$
(3) $x \geq 2$
(4) $x \leq 2$
(5) 任意实数

例 3 求下列各式的值。
(1)$\sqrt{4}$；(2)$\sqrt{\frac{25}{36}}$；(3)$\sqrt{0.09}$；
(4)$\sqrt{(-4)^{2}}$；(5)$\sqrt{0}$。

答案：
(1)
因为$2^2 = 4$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{4}=2$。
(2)
因为$(\frac{5}{6})^2=\frac{25}{36}$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}$。
(3)
因为$0.3^2 = 0.09$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{0.09}=0.3$。
(4)
先计算$(-4)^2 = 16$，因为$4^2 = 16$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{(-4)^{2}}=\sqrt{16}=4$。
(5)
因为$0^2 = 0$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{0}=0$。

同质训练 3 求下列各式的值。
(1)$\sqrt{\frac{4}{9}}$；(2)$\sqrt{0.81}$；(3)$\sqrt{(-\frac{1}{3})^{2}}$；(4)$\sqrt{(\pi - 1)^{2}}$。

答案：
(1)
因为$(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，根据算术平方根的定义，正数$a$的正的平方根叫做$a$的算术平方根，所以$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$。
(2)
因为$0.9^2 = 0.81$，根据算术平方根的定义，所以$\sqrt{0.81}=0.9$。
(3)
先计算$(-\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{9}$，又因为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，根据算术平方根的定义，所以$\sqrt{(-\frac{1}{3})^{2}}=\frac{1}{3}$。
(4)
根据算术平方根的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，对于$\sqrt{(\pi - 1)^{2}}$，$\pi\approx3.14\gt1$，则$\vert\pi - 1\vert=\pi - 1$，所以$\sqrt{(\pi - 1)^{2}}=\pi - 1$。
综上，答案依次为：
(1)$\frac{2}{3}$；
(2)$0.9$；
(3)$\frac{1}{3}$；
(4)$\pi - 1$。