《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

同质训练 已知 $a$,$b$,$c$ 为正整数,且 $a^{2}+b^{2}= c^{2}$.求证：对于任意的正整数 $k$,正整数 $ka$,$kb$,$kc$ 构成勾股数.

答案： 答题卡：
根据题意，已知$a$，$b$，$c$为正整数，且$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。
对于任意的正整数$k$，考虑$(ka)^{2} + (kb)^{2}$：
$(ka)^{2} + (kb)^{2} = k^{2}a^{2} + k^{2}b^{2} = k^{2}(a^{2} + b^{2}) = k^{2}c^{2} = (kc)^{2}$。
由于$ka$，$kb$，$kc$均为正整数（因为$a$，$b$，$c$，$k$均为正整数），
所以，对于任意的正整数$k$，$ka$，$kb$，$kc$构成勾股数。

例 如图,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,$AD = 24$,$AB = 26$,$BC = 20$.求 $AC$ 的长.

答案： 答题
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，
所以$BD = DC=\frac{1}{2}BC$。
因为$BC = 20$，
所以$BD=DC = 10$。
因为$AD = 24$，$BD = 10$，$AB = 26$，
所以$AD^{2}+BD^{2}=24^{2}+10^{2}=676$，$AB^{2}=26^{2}=676$。
所以$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$。
根据勾股定理的逆定理可知$\triangle ABD$是直角三角形，$\angle ADB = 90^{\circ}$，
所以$\angle ADC=180^{\circ}-\angle ADB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADC$中，$AD = 24$，$DC = 10$，
根据勾股定理$AC=\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}=\sqrt{24^{2}+10^{2}} = 26$。
综上，$AC$的长为$26$。

同质训练 1 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 是边 $BC$ 上的一点,$AB = 15$,$AC = 13$,$AD = 12$,$CD = 5$.求 $BC$ 的长.

答案： 在$\triangle ADC$中，$AC=13$，$AD = 12$，$CD = 5$。
因为$5^{2}+12^{2}=25 + 144=169=13^{2}$，即$CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，可知$\triangle ADC$是直角三角形，$\angle ADC = 90^{\circ}$。
所以$AD\perp BC$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB = 15$，$AD = 12$，根据勾股定理$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=\sqrt{225 - 144}=\sqrt{81}=9$。
又因为$CD = 5$，所以$BC=BD + CD=9 + 5=14$。
综上，$BC$的长为$14$。

同质训练 2 如图,$AD = 4$,$CD = 3$,$BC = 12$,$AB = 13$,$\angle ADC = 90^{\circ}$.求四边形 $ABCD$ 的面积.

答案： 连接AC。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=4，CD=3，
由勾股定理得：AC²=AD²+CD²=4²+3²=25，
∴AC=5。
S△ADC=1/2×AD×CD=1/2×4×3=6。
在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，
∵AC²+BC²=5²+12²=25+144=169=13²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×5×12=30。
S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=6+30=36。
答：四边形ABCD的面积为36。