《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

同 质 训 练 1 如图,点 B,E,C,F 在同一直线上,AB= DE,∠A= ∠D,AC//DF.求证：△ABC≌△DEF.

答案： 因为 $AC // DF$，
所以 $\angle ACB = \angle F$（两直线平行，同位角相等）。
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中：
$\begin{cases}\angle A = \angle D, \\ \angle ACB = \angle F, \\AB = DE.\end{cases}$
所以 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$（AAS）。

例 2 如图,△ABC≌△A'B'C',AD,A'D'分别是边 BC,B'C'上的高.求证：AD= A'D'.

答案： 证明：
∵ $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$，
根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等。
∴ $AB = A'B'$，$\angle B = \angle B'$。
∵ $AD$，$A'D'$分别是边$BC$，$B'C'$上的高，
∴ $\angle ADB = \angle A'D'B' = 90°$。
在$\triangle ABD$和$\triangle A'B'D'$中：
$\begin{cases} \angle ADB = \angle A'D'B', \\ \angle B = \angle B', \\ AB = A'B'. \end{cases}$
根据$AAS$（角角边）全等判定，
∴ $\triangle ABD \cong \triangle A'B'D'$。
∴ $AD = A'D'$。

同 质 训 练 2 将例 2 中“AD,A'D'分别是边 BC,B'C'上的高”改为“AD,A'D'分别是∠BAC 和∠B'A'C'的平分线”,其他条件都不变.求证：AD= A'D'.

答案： 已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'。
求证：AD=A'D'。
证明：
∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，
∴∠BAC=∠B'A'C'（三角形内角和定理）。
∵AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，
∴∠BAD=1/2∠BAC，∠B'A'D'=1/2∠B'A'C'，
∴∠BAD=∠B'A'D'。
在△ABD和△A'B'D'中，
∠B=∠B'（已知），
AB=A'B'（已知），
∠BAD=∠B'A'D'（已证），
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA）。
∴AD=A'D'（全等三角形对应边相等）。

例 3 如图,在△ABC 中,∠BAC= 90°,AB= AC,直线 m 经过点 A,BD⊥直线 m,CE⊥直线 m,垂足分别为 D,E.若 BD= 4,CE= 6,求 DE 的长.

答案： 因为 $BD \perp$ 直线 $m$，$CE \perp$ 直线 $m$，
根据垂直定义，所以$\angle BDA = \angle CEA = 90°$。
因为$\angle BAC = 90°$，
所以$\angle BAD + \angle CAE = 90°$，
因为$\angle BAD + \angle ABD = 90°$，
所以$\angle CAE = \angle ABD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中，
$\begin{cases}\angle ADB = \angle CEA, \\ \angle ABD = \angle CAE, \\AB = AC.\end{cases}$
根据全等三角形的判定定理（AAS），所以$\triangle ABD \cong \triangle CAE$。
根据全等三角形的性质，$AD = CE = 6$，$AE = BD = 4$。
$DE = AD + AE = 6 + 4 = 10$，
综上，$DE$的长为$10$。