《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

例 用函数表达式表示下列变化过程中两个变量之间的关系。
(1)某种汽油 7.60 元/L,加油 $ x $ L,应付费 $ y $ 元,那么 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为$y=7.60x$；
(2)如果加油前,汽车的油箱里还剩 6 L 汽油,已知加油枪的流量为 10 L/min,如果用 $ y $(单位：L)表示油箱中的油量,用 $ x $(单位：min)表示加油时间,那么 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为$y=10x + 6$；
(3)某种矿泉水,每瓶 1.20 元,总销售额 $ y $(单位：元)与售出瓶数 $ x $ 之间的函数表达式为$y=1.20x$；
归纳小结：一般地,形如$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）的函数叫作一次函数,其中$x$是自变量,$y$是$x$的函数。其中$kx$是一次项,$ k $ 叫作一次项的系数。特别地,当 $ b = 0 $ 时,$ y = kx $($ k $ 为常数,$ k eq 0 $)叫作 $ x $ 的正比例函数,数 $ b $ 叫作常数项。

答案：
(1)$y=7.60x$；
(2)$y=10x + 6$；
(3)$y=1.20x$；
$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）；$x$；$y$；$x$；$kx$；正比例

同质训练 1 下列函数中,属于正比例函数的是(B)
A.$ y = \frac{1}{x} $
B.$ y = -4x $
C.$ y = 3x + 9 $
D.$ y = 2x^2 $

答案： B

同质训练 2 已知 $ y = (3 - a)x + 4 - 2a $,当 $ a $ $aeq3$时,这个函数是一次函数；当 $ a $ $a = 2$时,这个函数是正比例函数。

答案： $a\neq3$；$a = 2$

例 1 观察下列函数表达式：① $ y = 25x $；② $ y = 25x + 6 $；③ $ y = 1.20x $；④ $ y = h - 105 $；⑤ $ y = 465 - 15t $。
(1)这些函数表达式中,自变量的次数是1。
(2)比较式子①③与②④⑤,有什么共同和不同之处？
归纳小结：正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数。

答案：
(1)这些函数表达式中，自变量的次数都是$1$。
(2)
共同之处：
①$y = 25x$，③$y = 1.20x$， 若只考虑形式，可看作$y=kx$（$k\neq0$）的形式，是正比例函数形式，同时也满足一次函数$y=kx+b$（$k\neq0$）中$b = 0$的特殊情况；
②$y = 25x + 6$，④$y = h - 105$（可变形为$y=-105 + h$，符合$y=kx+b$形式），⑤$y = 465 - 15t$（可变形为$y=-15t + 465$，符合$y=kx+b$形式）都符合一次函数$y=kx+b$（$k\neq0$）的形式。
所以它们的共同之处是自变量次数都为$1$，且①③是正比例函数（一次函数特殊形式），②④⑤是一次函数。
不同之处：
①③中自变量系数与函数关系呈现简单比例关系，且常数项为$0$；②④⑤中函数表达式除了自变量项还有常数项。

同质训练 1 有下列函数：① $ y = 2x - 2 $；② $ y = -3x + 1 $；③ $ y = \frac{1}{x} $；④ $ y = \sqrt{2x + 1} $；⑤ $ x + y = 0 $。其中①②⑤是一次函数,⑤是正比例函数。(填序号)

答案： 一次函数：①②⑤；
正比例函数：⑤。