《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

归纳小结: 在直角三角形中,如果一个锐角等于 $ 30^{\circ} $,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言:在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，则$BC=\frac{1}{2}AB$（$\angle A$所对的直角边是$BC$，斜边是$AB$）。

答案： 1. 首先明确直角三角形的性质：
在直角三角形中，设直角三角形$ABC$，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，斜边为$AB$，$30^{\circ}$角所对的直角边为$BC$。
根据直角三角形的性质定理：
我们可以通过构造等边三角形来证明。延长$BC$到$D$，使$CD = BC$，连接$AD$。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC = CD$，$AC$为公共边，所以$\triangle ABC\cong\triangle ADC(SAS)$。
则$AB = AD$，$\angle B=\angle D = 60^{\circ}$，所以$\triangle ABD$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。
所以$BD = AB$，又因为$BD = 2BC$，所以$BC=\frac{1}{2}AB$。
2. 然后得出结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么**它所对的直角边等于斜边的一半**。
几何语言：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，则$BC=\frac{1}{2}AB$（$\angle A$所对的直角边是$BC$，斜边是$AB$）。
故答案为：它所对的直角边等于斜边的一半。

问题三 如何运用直角三角形斜边上的中线性质解决问题?
例 1 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ CD $ 是边 $ AB $ 上的中线.
(1) 与 $ CD $ 相等的线段有AD、BD;
(2) 与 $ \angle A $ 相等的角有∠ACD;
(3) 若 $ AB = 6 $,则 $ CD = $3;
(4) 若 $ CD = 2 $,则 $ AB = $4;
(5) 若 $ \angle A = 70^{\circ} $,则 $ \angle DCB = $20°;
(6) 若 $ \angle B = 30^{\circ} $, $ AC = 4 $,则 $ AB = $8.

(例 1 图)

答案：
(1) AD、BD
(2) ∠ACD
(3) 3
(4) 4
(5) 20°
(6) 8

例 2 如图,在四边形 $ ABCD $ 中, $ \angle BAD = \angle BCD = 90^{\circ} $, $ M $ 是 $ BD $ 的中点,连接 $ AM $, $ CM $. 求证: $ AM = CM $.

(例 2 图)

答案： 在$\triangle ABD$中，
因为$\angle BAD = 90^{\circ}$，$M$是$BD$的中点，
根据直角三角形斜边中线定理可得：
$AM = \frac{1}{2}BD$。
在$\triangle BCD$中，
因为$\angle BCD = 90^{\circ}$，$M$是$BD$的中点，
根据直角三角形斜边中线定理可得：
$CM=\frac{1}{2}BD$。
所以$AM = CM$。

同质训练 如图,在四边形 $ ABCD $ 中, $ \angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ} $, $ M $, $ N $ 分别是 $ AC $, $ BD $ 的中点. 求证:
(1) $ DM = BM $;

(2) $ MN \perp BD $.

答案：
(1)
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle ADC = 90^{\circ}$，$M$是$AC$中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$DM=\frac{1}{2}AC$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$M$是$AC$中点，同理可得$BM = \frac{1}{2}AC$。
所以$DM = BM$。
(2)
由
(1)知$DM = BM$，所以$\triangle BMD$是等腰三角形。
因为$N$是$BD$中点，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线互相重合），可得$MN\perp BD$。
综上，
(1) $DM = BM$得证；
(2) $MN\perp BD$得证。

例 3 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle B = \angle C $, $ AD \perp BC $,垂足为 $ D $, $ DE // AB $ 交 $ AC $ 于点 $ E $. 求证:
(1) $ \triangle ABC $ 是等腰三角形;
(2) $ \triangle ADE $ 是等腰三角形.

(例 3 图)

答案：
(1) 在$\triangle ABC$中，
$\because \angle B = \angle C$，
$\therefore AB = AC$（等角对等边），
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形。
(2) $\because DE // AB$，
$\therefore \angle ADE = \angle BAD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AB = AC$，$AD \perp BC$，
$\therefore \angle BAD = \angle CAD$（等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合）。
$\therefore \angle ADE = \angle CAD$，
$\therefore AE = DE$（等角对等边），
$\therefore \triangle ADE$是等腰三角形。