《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

例 把下列各数填入相应的集合内：$3\frac{1}{2}$,$\sqrt[3]{-8}$,$0$,$\sqrt{27}$,$\frac{\pi}{3}$,$0.5$,$3.14159$,$-0.020020002$,$0.12121121112…$(相邻的两个$2之间依次多一个1$)
(1)有理数：$\{ $$3\frac{1}{2},\sqrt[3]{-8},0,0.5,3.14159,-0.020020002$$\}$；
(2)无理数：$\{ $$\sqrt{27},\frac{\pi}{3},0.12121121112…$$\}$；
(3)正实数：$\{ $$3\frac{1}{2},\sqrt{27},\frac{\pi}{3},0.5,3.14159,0.12121121112…$$\}$；
(4)负实数：$\{ $$\sqrt[3]{-8},-0.020020002$$\}$．
归纳小结：(1)有理数和无理数统称为实数．
(2)实数可以这样分类：
$实数\begin{cases} & 正实数 \\ & 0 \\ & 负实数 \end{cases}$
$实数\begin{cases} 有理数\begin{cases} 正有理数 \\ 0 \\ 负有理数 \end{cases} \\ 无理数\begin{cases} 正无理数 \\ 负无理数 \end{cases} \end{cases}$

答案：
(1)有理数：$\left\{3\frac{1}{2},\sqrt[3]{-8},0,0.5,3.14159,-0.020020002\right\}$；
(2)无理数：$\left\{\sqrt{27},\frac{\pi}{3},0.12121121112…\right\}$；
(3)正实数：$\left\{3\frac{1}{2},\sqrt{27},\frac{\pi}{3},0.5,3.14159,0.12121121112…\right\}$；
(4)负实数：$\left\{\sqrt[3]{-8},-0.020020002\right\}$；
归纳小结：
(1)有理数；无理数；
(2)
第一个图（按正负分）：正实数；0；负实数；
第二个图（按定义分）：有理数；无理数；正有理数；0；负有理数；正无理数；负无理数。

例 1 如图,请在数轴上找到表示$\sqrt{2}和-\sqrt{3}$的点.

归纳小结：每个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反之数轴上的每一个点都表示一个实数,实数与数轴上的点一一对应.

答案： 本题可利用勾股定理在数轴上找到表示$\sqrt{2}$和$-\sqrt{3}$的点。
1. 在数轴上找到表示$\sqrt{2}$的点
以数轴的原点$0$为直角顶点，作一个单位长度（$1$个单位长度为数轴上$1$个小格的长度）的横向线段$OA$和$1$个单位长度的纵向线段$AB$，连接$OB$。
根据勾股定理，在直角三角形$OAB$中，$OA = 1$，$AB = 1$，则$OB=\sqrt{OA^{2}+AB^{2}}=\sqrt{1^{2} + 1^{2}}=\sqrt{2}$。
以原点$O$为圆心，$OB$长为半径画弧，交数轴正半轴于点$C$，点$C$表示的数就是$\sqrt{2}$。
2. 在数轴上找到表示$-\sqrt{3}$的点
以数轴的原点$0$为直角顶点，作$1$个单位长度的横向线段$OD$和$\sqrt{2}$个单位长度的纵向线段$DE$（$\sqrt{2}$的长度可通过上述作$\sqrt{2}$的方法得到），连接$OE$。
根据勾股定理，在直角三角形$ODE$中，$OD = 1$，$DE=\sqrt{2}$，则$OE=\sqrt{OD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{3}$。
以原点$O$为圆心，$OE$长为半径画弧，交数轴负半轴于点$F$，点$F$表示的数就是$-\sqrt{3}$。
归纳小结
每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应。
故答案依次为：在数轴上按上述步骤作出表示$\sqrt{2}$和$-\sqrt{3}$的点（具体作图过程略）；实数。

同质训练 1 找出下列各数中的无理数,并把它们表示在数轴上：$\sqrt{\frac{9}{16}}$,$-\frac{22}{7}$,$\sqrt{3}$,$\sqrt[3]{8}$,$-\sqrt{2}$,$\pi + 3$.

答案： 无理数：$\sqrt{3}$，$-\sqrt{2}$，$\pi + 3$。
数轴表示：（注：此处因无法直接画图，实际作答时需在数轴上分别标出表示$\sqrt{3}$（约1.732）、$-\sqrt{2}$（约-1.414）、$\pi + 3$（约6.1416）的点，具体画法为利用勾股定理构造直角三角形得到对应无理数的长度，再在数轴上截取相应位置。）