《2025年新课程示径学案作业设计八年级数学上册苏科版》

例 1 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$E在BC$上,且$AE = BE$.求证：$\angle AEB= \angle BAC$.

答案： 证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）。
∵AE=BE，
∴∠B=∠BAE（等边对等角）。
设∠B=∠C=∠BAE=x，则∠BAC=∠BAE+∠EAC=x+∠EAC。
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，
即x+x+(x+∠EAC)=180°，
∴∠EAC=180°-3x。
在△AEC中，∠AEC=∠B+∠BAE=2x（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠AEC+∠C+∠EAC=180°，
即2x+x+(180°-3x)=180°，等式成立。
∠AEB=180°-∠AEC=180°-2x，
∠BAC=x+∠EAC=x+(180°-3x)=180°-2x，
∴∠AEB=∠BAC。

同质训练 1 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在BC$上.若$AD = BD$,$AB = AC = CD$,求$\angle BAC$的度数.

答案： 设$\angle B = x$，
因为$AD = BD$，
根据等腰三角形的性质，等腰三角形两底角相等，
所以$\angle BAD = x$，
则$\angle ADC = \angle B + \angle BAD = 2x$。
又因为$AB = AC = CD$，
所以$\angle C = \angle B = x$，$\angle DAC = \angle ADC = 2x$。
在$\triangle ABC$中，
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
可得$\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，
即$x + 2x + x+x = 180^{\circ}$（$\angle BAC=\angle BAD+\angle DAC=x + 2x = 3x$），
$5x = 180^{\circ}$，
解得$x = 36^{\circ}$。
所以$\angle BAC = 108^{\circ}$。
故$\angle BAC$的度数为$108^{\circ}$。

例 2 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$M$,$N在BC$上,且$AM = AN$.求证：$BM = CN$.

答案： 过点$A$作$AD \perp BC$于$D$。
因为$AB = AC$，等腰三角形三线合一，
所以$BD = CD$。
因为$AM = AN$，等腰三角形三线合一，
所以$MD = ND$。
所以$BD - MD = CD - ND$。
即$BM = CN$。

同质训练 2 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D是BC$的中点,$DE\perp AB$,$DF\perp AC$,$E$,$F$为垂足.求证：$DE = DF$.

答案： 证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）。
∵D是BC中点，
∴BD=CD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°。
在△DEB和△DFC中，
∠DEB=∠DFC，
∠B=∠C，
BD=CD，
∴△DEB≌△DFC（AAS）。
∴DE=DF。