《2025年小题狂做七年级数学上册苏科版巅峰版》

8. 某休闲广场的地面中间是一块正六边形地砖,周围是用正方形和正三角形地砖按如图方式依次向外铺设 10 圈而成,其中第 1 圈有 6 块正方形和 6 块正三角形地砖,则铺设该广场共用地砖661块.

答案： 661　提示:根据题意分析可得，从里向外的第1层包括6个正三角形,6个正方形,1个正六边形。第2层包括18个正三角形，6个正方形,此后，每层都比前一层多12个正三角形。依此递推，第10层中含有正三角形6+12×9=114(个)。所以铺设该广场共用地砖6+18+...+114+6×10+1=661(块)。

9. 一个正方体蛋糕竖着切 5 刀,被分成的块数最多为16.

答案： 16　提示:当切1刀时,块数为1+1=2;当切2刀时，块数最多为1+1+2=4;当切3刀时,块数最多为1+1+2+3=7……当切n刀时，块数最多为$1+(1+2+3+\cdots+n)=1+\frac{n(n + 1)}{2}$。则切5刀时，块数最多为$1+\frac{5×6}{2}$=16。

10. 如图,直线 DE 经过点 A,DE//BC,∠B= 48°,∠C= 63°.
(1)∠DAB= 48°;∠EAC= 63°;∠BAC= 69°.
(2)通过求上述三个角的度数,请你说明三角形的内角和为什么是 180°.解:因为DE//BC,所以∠DAB=∠B,∠EAC=∠C。又因为∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°,所以∠B+∠BAC+∠C=180°。即三角形的内角和是180°。

答案：
(1)$48^{\circ}$　$63^{\circ}$　$69^{\circ}$　提示:因为DE//BC,所以∠DAB=∠B,∠EAC=∠C。因为∠B=48°,∠C=63°,所以∠DAB=48°,∠EAC=63°。因为∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°,所以∠BAC=180° - 48° - 63°=69°。
(2)解:因为DE//BC,所以∠DAB=∠B,∠EAC=∠C。又因为∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°,所以∠B+∠BAC+∠C=180°。即三角形的内角和是180°。

11. 如图,第 1 个多边形由正三角形"扩展"而来,边数记为$a_3= 12,$第 2 个多边形由正方形"扩展"而来,边数记为$a_4= 20……$以此类推,由正 n 边形"扩展"而来的多边形的边数记为aₙ(n≥3),则$a_1₀= $110.

答案： 110　提示:根据题意,得$a_{3}=12=3×4=3×(3 + 1)$;$a_{4}=20=4×5=4×(4 + 1)$;$a_{5}=30=5×6=5×(5 + 1)$;…由此发现$a_{n}=n(n + 1)$,所以$a_{10}=10×11=110$。

12. 【问题提出】
连接五边形 ABCDE 的五个顶点和它内部的 n 个点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到五边形内所有区域都变成三角形,可分得多少个三角形?(不计被分割的三角形)
【问题探究】




(1)如图 1,当五边形内有 1 个点时,可分得______个三角形.
(2)当五边形内有 2 个点时,可分得多少个三角形?我们在图 1 五边形 ABCDE 的内部再添加 1 个点,这个点的位置会有两种情况:可能在图 1 分割成的某个三角形的内部,如图 2 所示;也可能在三角形的某条公共边上,如图 3 所示.显然,不管哪种情况,都可分得______个三角形.
(3)当五边形内有 3 个点时,可分得______个三角形.请在图 4 中画出一种分割示意图.
【问题解决】
(4)连接五边形 ABCDE 的五个顶点和它内部的 n 个点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到五边形内所有区域都变成三角形,可分得______个三角形.
【拓展延伸】
(5)若连接六边形的六个顶点和它内部的 m 个点,可把六边形区域分割成______个互不重叠的三角形.

答案：

(1)5
(2)7
(3)9　提示:画出图形如下,当五边形内有3个点时,可分得5+2×3 - 2=9(个)三角形。


(4)(2n + 3)　提示:由
(1)可知，当五边形内有1个点时,可分得5+2×1 - 2=5(个)三角形;由
(2)可知，当五边形内有2个点时,可分得5+2×2 - 2=7(个)三角形;由
(3)可知，当五边形内有3个点时，可分得5+2×3 - 2=9(个)三角形……以此类推，当五边形内有n个点时，可分得5+2n - 2=(2n + 3)个三角形。
(5)(2m + 4)　提示:如图3 - 7所示，当六边形内有1个点时,可以分得6+2×1 - 2=6(个)三角形;当六边形内有2个点时,可以分得6+2×2 - 2=8(个)三角形;当六边形内有3个点时，可以分得6+2×3 - 2=10(个)三角形……以此类推，可知当六边形内有m个点时,可分得6+2m - 2=(2m + 4)个三角形。