《2025年小题狂做七年级数学上册苏科版巅峰版》

9. 阅读下面的解题过程,并解答后面的问题.
计算：$(-15)÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})×6$.
解：原式$=(-15)÷(-\frac{1}{6})×6$(第一步)
$=(-15)÷(-1)$(第二步)
$=-15$(第三步).
(1)上面的解题过程中有两处错误,第一处是第二步,错误的原因是运算顺序错误,第二处是第三步,错误的原因是有理数除法法则运用错误.
(2)把正确的解题过程写出来.
解:$(-15)÷ (\frac{1}{3}-\frac{1}{2})× 6=(-15)÷ (-\frac{1}{6})× 6=(-15)× (-6)× 6=90× 6=540$.

答案：
(1)二 运算顺序错误 三 有理数除法法则运用错误
(2)解:$(-15)÷ (\frac{1}{3}-\frac{1}{2})× 6=(-15)÷ (-\frac{1}{6})× 6=(-15)× (-6)× 6=90× 6=540$.

10. (1)已知 a 为不等于零的有理数,则$\frac{|a|}{a}=$$\pm 1$.
(2)若$ab≠0$,则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$的值不可能是B.
A. 0
B. 1
C. 2
D. -2
(3)已知 a,b,c 为不等于零的有理数,求$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}$的值.因为$a,b,c$为不等于零的有理数,所以可以分四种情况:当$a,b,c$同为正时,原式$=3$;当$a,b,c$同为负时,原式$=-3$;当$a,b,c$一正两负时,原式$=-1$;当$a,b,c$一负两正时,原式$=1$.所以$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}$的值为$\pm 3$或$\pm 1$.
(4)已知有理数 a,b,c 满足$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}= 1$,求$\frac{|abc|}{abc}$的值.因为$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=1$,所以$a,b,c$必为一负两正,所以$\frac{|abc|}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1$.

答案： 解:
(1)$\pm 1$
(2)B
(3)因为$a,b,c$为不等于零的有理数,所以可以分四种情况:当$a,b,c$同为正时,原式$=3$;当$a,b,c$同为负时,原式$=-3$;当$a,b,c$一正两负时,原式$=-1$;当$a,b,c$一负两正时,原式$=1$.所以$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}$的值为$\pm 3$或$\pm 1$.
(4)因为$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=1$,所以$a,b,c$必为一负两正,所以$\frac{|abc|}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1$.

11. 在数轴上,把原点记作点 O,表示数 1 的点记作点 A. 对于数轴上任意一点 P(不与点 O,A 重合),将线段 PO 与线段 PA 的长度之比定义为点 P 的特征值,记作$\hat{P}$,即$\hat{P}= \frac{PO}{PA}$. 例如：当点 P 表示的数是$\frac{1}{2}$时,因为$PO= PA= \frac{1}{2}$,所以$\hat{P}= 1$.
(1)如图,点$P_{1},P_{2},P_{3}$为数轴上三个点,点$P_{1}表示的数是-\frac{1}{4}$,点$P_{2}与P_{1}$关于原点对称.

①$\hat{P}_{2}= $$\frac{1}{3}$；
②比较$\hat{P}_{1},\hat{P}_{2},\hat{P}_{3}$的大小：$\hat{P}_{1}＜\hat{P}_{2}＜\hat{P}_{3}$(用“＜”连接).
(2)若数轴上的点 M 满足$OM= \frac{1}{3}OA$,求$\hat{M}$的值.$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$
(3)已知数轴上的点 P 表示有理数 a.
①若$\hat{P}= 2$,求 a 的值；$2$或$\frac{2}{3}$
②若$\hat{P}≤5$,且$\hat{P}$为整数,则所有满足条件的 a 的倒数之和为10.

答案： 解:
(1)①$\frac{1}{3}$ 提示:因为点$P_{1}$表示的数是$-\frac{1}{4}$,点$P_{2}$与$P_{1}$关于原点对称,所以点$P_{2}$表示的数是$\frac{1}{4}$,因为点$A$表示的数是$1$,所以$P_{2}A=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$,$P_{2}O=\frac{1}{4}$,所以$\hat{P}_{2}=\frac{P_{2}O}{P_{2}A}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}$.
②$\hat{P}_{1}＜\hat{P}_{2}＜\hat{P}_{3}$ 提示:因为点$P_{1}$表示的数是$-\frac{1}{4}$,所以$P_{1}A=1-(-\frac{1}{4})=\frac{5}{4}$,$P_{1}O=\frac{1}{4}$,所以$\hat{P}_{1}=\frac{P_{1}O}{P_{1}A}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}}=\frac{1}{5}$,由图可知$P_{3}O=P_{3}A+AO=P_{3}A+1$,所以$P_{3}O＞P_{3}A$,所以$\hat{P}_{3}=\frac{P_{3}O}{P_{3}A}＞1$,所以$\hat{P}_{1}＜\hat{P}_{2}＜\hat{P}_{3}$.
(2)分两种情况:当点$M$在原点的右侧时,因为$OM=\frac{1}{3}OA$,所以$OM=\frac{1}{3}$,所以点$M$表示的数为$\frac{1}{3}$,所以$MO=\frac{1}{3}$,$MA=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$,所以$\hat{M}=\frac{MO}{MA}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}$;当点$M$在原点的左侧时,同理可得点$M$表示的数为$-\frac{1}{3}$,所以$MO=\frac{1}{3}$,$MA=1-(-\frac{1}{3})=\frac{4}{3}$,所以$\hat{M}=\frac{MO}{MA}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{4}$,所以$\hat{M}$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$.
(3)①当$a＞1$时,$PO=a$,$PA=a-1$,所以$\hat{P}=\frac{PO}{PA}=\frac{a}{a-1}=2$,解得$a=2$;当$0＜a＜1$时,$PO=a$,$PA=1-a$,所以$\hat{P}=\frac{PO}{PA}=\frac{a}{1-a}=2$,解得$a=\frac{2}{3}$;当$a＜0$时,$PO=-a$,$PA=1-a$,所以$\hat{P}=\frac{PO}{PA}=\frac{-a}{1-a}=2$,解得$a=2$(不合题意舍去),所以$a$的值为$2$或$\frac{2}{3}$.
②$10$ 提示:因为$\hat{P}\leq 5$且$\hat{P}$为正整数,所以$\hat{P}=\frac{PO}{PA}$为正整数,所以$PO$是$PA$的倍数.当$\hat{P}=\frac{PO}{PA}=1$时,$PO=PA$,所以$a=\frac{1}{2}$;当$\hat{P}=\frac{PO}{PA}=2$时,由①可知,$a$的值为$\frac{2}{3}$或$2$;当$\hat{P}=\frac{PO}{PA}=3$时,$PO=3PA$,若点$P$在$OA$之间,则$a=3(1-a)$,解得$a=\frac{3}{4}$,若点$P$在点$A$的右侧,则$a=3(a-1)$,解得$a=\frac{3}{2}$,即当$\hat{P}=3$时,$a$的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{3}{2}$;当$\hat{P}=\frac{PO}{PA}=4$时,$PO=4PA$,若点$P$在$OA$之间,则$a=4(1-a)$,解得$a=\frac{4}{5}$,若点$P$在点$A$的右侧,则$a=4(a-1)$,解得$a=\frac{4}{3}$,即当$\hat{P}=4$时,$a$的值为$\frac{4}{5}$或$\frac{4}{3}$;当$\hat{P}=\frac{PO}{PA}=5$时,$PO=5PA$,若点$P$在$OA$之间,则$a=5(1-a)$,解得$a=\frac{5}{6}$,若点$P$在点$A$的右侧,则$a=5(a-1)$,解得$a=\frac{5}{4}$,即当$\hat{P}=5$时,$a$的值为$\frac{5}{6}$或$\frac{5}{4}$.所以所有满足条件的$a$的倒数之和为$2+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{5}+\frac{6}{5}+\frac{3}{4}=2+(\frac{3}{2}+\frac{1}{2})+(\frac{4}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{5}{4}+\frac{3}{4})+(\frac{6}{5}+\frac{4}{5})=2+2+2+2+2=10$.