《2025年小题狂做七年级数学上册苏科版巅峰版》

8. 已知一个三位正整数x,它的每个数位上的数字均不为零且互不相等,若从x的三个数位上的数字中任选两个组成一个新的两位数,则称这样的两位数为x的“衍生数”.例如:对于三位正整数654,任选其中两个数字组成的所有两位数分别是65,64,56,54,46,45,它们都是654的“衍生数”.
(1)三位正整数789所有的“衍生数”为78,79,89,98,97,87.
(2)对于任意每个数位上的数字均不为零且互不相等的三位正整数,试说明它的所有“衍生数”的和能被22整除.
设三位正整数的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,a≠b≠c,且abc≠0,则这个三位数所有“衍生数”之和为(10a+b)+(10a+c)+(10b+a)+(10b+c)+(10c+a)+(10c+b)=10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b=22a+22b+22c=22(a+b+c),因为a+b+c≠0,所以22(a+b+c)能被22整除.

答案：
(1)78,79,89,98,97,87
(2)设三位正整数的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,a≠b≠c,且abc≠0,则这个三位数所有“衍生数”之和为(10a+b)+(10a+c)+(10b+a)+(10b+c)+(10c+a)+(10c+b)=10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b=22a+22b+22c=22(a+b+c),因为a+b+c≠0,所以22(a+b+c)能被22整除.

9. 若关于x的两个多项式A,B满足$3A+2B= 5x$,则称A与B是关于x的“优美多项式”.如:当$A= x^{2}+x+2$,$B= -\frac{3}{2}x^{2}+x-3$时,因为$3A+2B= 3(x^{2}+x+2)+2(-\frac{3}{2}x^{2}+x-3)= 3x^{2}+3x+6-3x^{2}+2x-6= 5x$,所以多项式$x^{2}+x+2与-\frac{3}{2}x^{2}+x-3$是关于x的“优美多项式”.
根据上述材料,解决下列问题：
(1)若$A= 2-x$,$B= 4x-3$,判断A与B是否是关于x的“优美多项式”,并说明理由.
(2)已知$B= -3x^{2}+x+\frac{3}{2}m^{2}$(m是正整数),A与B是关于x的“优美多项式”.若当$x= m$时,多项式A-B的值是小于100的整数,求满足条件的所有m值之和.

答案：
(1)A与B是关于x的“优美多项式”.理由如下:
因为A=2-x,B=4x-3,所以3A+2B=3(2-x)+2(4x-3)=6-3x+8x-6=5x,所以A与B是关于x的“优美多项式”.
(2)因为A与B是关于x的“优美多项式”,所以3A+2B=5x,所以A= $\frac{1}{3}$(5x-2B).因为B=-3$x^2$+x+ $\frac{3}{2}$$m^2$(m是正整数),所以A= $\frac{1}{3}$[5x-2(-3$x^2$+x+ $\frac{3}{2}$$m^2$)]= $\frac{1}{3}$(6$x^2$+3x-3$m^2$)=2$x^2$+x-$m^2$.因为当x=m时,多项式A-B的值是小于100的整数,所以A-B=2$x^2$+x-$m^2$-(-3$x^2$+x+ $\frac{3}{2}$$m^2$)=5$x^2$-$\frac{5}{2}$$m^2$=5$m^2$-$\frac{5}{2}$$m^2$= $\frac{5}{2}$$m^2$＜100且为整数,即$m^2$＜40且m为正偶数,故m=2,4,6.所以满足条件的所有m值之和为12.