《2025年小题狂做七年级数学上册苏科版巅峰版》

7. 某排球比赛的积分规则为:比赛中以 $3:0$ (胜 3 局负 0 局)或者 $3:1$ 取胜的球队积 3 分,负队积 0 分;比赛中以 $3:2$ 取胜的球队积 2 分,负队积 1 分. 若 $n$ (n 是正整数,$n＞1$)支排球队进行单循环比赛(参赛的每两支球队之间都要比赛一场),则比赛结束后所有球队的积分之和为$\frac {3n(n-1)}{2}$分(用含 $n$ 的代数式表示).

答案： $\frac {3n(n-1)}{2}$ 提示:依题意可得,每支球队都需与其他$(n-1)$支球队比赛一场,总共进行$\frac {n(n-1)}{2}$场比赛,因为每场比赛无论结果如何,积分总和都为3分,所以所有球队的总积分等于比赛场次乘以每场比赛的积分,即$\frac {3n(n-1)}{2}$分.

8. 某校为了增强学生的体质,准备购买足球 50 个,实心球 $x$ 个 ($x＞50$),足球定价 80 元/个,实心球定价 20 元/个,甲、乙两商店向学校提供了各自的优惠方案：
甲商店:买一个足球送一个实心球；
乙商店:足球和实心球都按定价的 90%付款.
(1) 若该校单独到甲或乙商店购买,分别需要多少元? (用含 $x$ 的代数式表示)
(2) 若 $x = 200$ 时,通过计算说明此时哪间商店购买较为合算?
(3) 当 $x = 300$ 时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗? 试写出你的购买方法,并把需要的钱算出来.

答案： 解:
(1)甲:$50×80+(x-50)×20=4000+20x-1000=(20x+3000)$元;乙:$50×80×90\% +20×90\% x=(18x+3600)$元.答:单独到甲商店购买需要$(20x+3000)$元,单独到乙商店购买需要$(18x+3600)$元.
(2)当$x= 200$时,甲:$20×200+3000=7000$(元);乙:$18×200+3600=7200$(元).因为$7000＜7200$,所以去甲商店购买较为合算.
(3)当$x= 300$时,甲:$20×300+3000=9000$(元);乙:$18×300+3600=9000$(元).更省钱的方案为:先去甲商店买50个足球(送50个实心球),再去乙商店买250个实心球.需要的钱为$50×80+250×20×90\% =4000+4500=8500$(元).

9. 已知 $(x + 1)^{2025}= a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + a_3x^3+… + a_{2025}x^{2025}$,则 $a_{2025}-a_{2024}+a_{2023}-a_{2022}+… + a_1$ 的值为______1.

答案： 1 提示:令$x=0$,则$(x+1)^{2025}=a_{0}=1$,令$x=-1$,则$(x+1)^{2025}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+... +a_{2024}-a_{2025}=0$,即$a_{2025}-a_{2024}+a_{2023}-a_{2022}+... +a_{1}-a_{0}=0$,所以$a_{2025}-a_{2024}+a_{2023}-a_{2022}+... +a_{1}=a_{0}=1.$

10. 我们规定:数轴上的点 A 所表示的数为 $x$,点 B 所表示的数为 $x + 2$,若数轴上存在不与点 A,B 重合的一点 P,使得 A,B,P 三点中,某一点到另外两点的距离相等,则称 P 为点 A,B 的“等关联点”.
(1) 当 $x = 1$ 时,若 P 为点 A,B 的“等关联点”,则点 P 所表示的数为-1或2或5.
(2) 对于任意的点 A,若 P 为点 A,B 的“等关联点”,求点 P 所表示的数(用含 $x$ 的代数式表示).$x-2$或$x+1$或$x+4$
(3) 已知数轴上存在两点 M,N,点 M 所表示的数是-5,点 N 所表示的数是+5,如果线段 MN 上存在 3 个 P 为点 A,B 的“等关联点”,则 $x$ 的最大值是1.

答案： 解:
(1)-1或2或5 提示:当$x=1$时,点A表示的数为1,点B表示的数为3.①当点P在点A左侧时,$AP=AB=2$,所以点P表示的数为-1;②当点P在点A,点B之间时,$PA=PB=\frac {1}{2}AB=1$,所以点P表示的数为2;③当点P在点B右侧时,$BP=AB=2$,所以点P表示的数为5.综上所述,点P所表示的数为-1或2或5.
(2)①当点P在点A左侧时,$AP=AB=2$,所以点P所表示的数为$x-2$;②当点P在点A,点B之间时,$PA=PB=\frac {1}{2}AB=1$,所以点P所表示的数为$x+1$;③当点P在点B右侧时,$BP=AB=2$,所以点P所表示的数为$x+2+2=x+4$.综上所述,点P所表示的数为$x-2$或$x+1$或$x+4.$
(3)1 提示:因为线段MN上存在3个P为点A,B的"等关联点",所以$x-2≥-5,x+4≤5$,解得$-3≤x≤1$,所以x的最大值是1.