《2025年小题狂做七年级数学上册苏科版巅峰版》

1. 设$a= -(-2)^{2},b= -(-3)^{3},c= -(-4^{2})$,则$-[a-(b-c)]$的值为(A)
A.15
B.7
C.-39
D.47

答案： A

2. 若$|a|≤1$,则$a^{2}-1$是 (C)
A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数

答案： C 提示:因为|a|≤1,所以|a|²≤1,所以a² - 1≤0,即a² - 1是非正数.

3. 若a,b为有理数,给出下列判断:①$|a+1|+2$的最小值是2;②$a^{2}+(ab-4)^{2}$的最小值是0;③$5+(ab-5)^{2}$的最大值为5;④$2-(ab+3)^{2}$的最大值是2.其中正确的个数是 (B)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B 提示:因为|a + 1|≥0,所以|a + 1| + 2≥2,即|a + 1| + 2的最小值是2,故①正确;a²≥0,(ab - 4)²≥0,当a² = 0,即a = 0时,(ab - 4)²＞0,a² + (ab - 4)²的最小值不是0,当(ab - 4)² = 0时,ab = 4,所以a≠0,所以a²＞0,a² + (ab - 4)²的最小值不是0,故②错误;5 + (ab - 5)²的最小值为5,故③错误;因为(ab + 3)²的最小值是0,所以2 - (ab + 3)²的最大值是2,故④正确.

4. 小红在计算$\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^{2}+(\frac{1}{4})^{3}+…+(\frac{1}{4})^{2025}$时,拿出1张等边三角形纸片按如图所示的方式进行操作:①如图1,把1个等边三角形等分成4个完全相同的等边三角形,完成第1次操作;②如图2,把图1中最上面的三角形等分成4个完全相同的等边三角形,完成第2次操作;③如图3,把图2中最上面的三角形等分成4个完全相同的等边三角形,完成第3次操作……重复上述操作,可得与计算$\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^{2}+(\frac{1}{4})^{3}+…+(\frac{1}{4})^{2025}$的结果最接近的数是 (A)
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1

答案： A 提示:根据题意,设原大三角形的面积为1,则第1次操作后每个小三角形的面积均为$\frac{1}{4}$;第2次操作后每个小三角形的面积均为$(\frac{1}{4})^2$;第3次操作后每个小三角形的面积均为$(\frac{1}{4})^3$……第2025次操作后每个小三角形的面积均为$(\frac{1}{4})^{2025}$,则原算式相当于求图1中的阴影部分面积.现将原算式扩大3倍,得$3×\frac{1}{4}+3×(\frac{1}{4})^2+3×(\frac{1}{4})^3+\cdots +3×(\frac{1}{4})^{2025}$,此时该算式相当于求图2中的阴影部分面积,这个和等于原大三角形的面积减去一个空白小三角形的面积,即$1 - (\frac{1}{4})^{2025}$,则原算式的结果为$\frac{1}{3}-\frac{1}{3}×(\frac{1}{4})^{2025}\approx \frac{1}{3}$,即最接近的数是$\frac{1}{3}$.

5. 已知光在真空中的传播速度是$3×10^{5}km/s$,1年约为$3.15×10^{7}s$,则1光年(光1年所走的路程)约为$9.45×10^{15}$m(用科学记数法表示).

答案： $9.45×10^{15}$

6. 对于任意有理数a,b,若规定$a☆b= -b^{a}$,$a★b= a^{b-1}$,那么$[(-2)★3]☆1= $-1.

答案： -1

7. 计算:$(-2)^{2024}+(-2)^{2025}=$$-2^{2024}$.

答案： $-2^{2024}$ 提示:原式$=(-2)^{2024}+(-2)^{2024}×(-2)=(-2)^{2024}×[1 + (-2)]=-2^{2024}$.

8. $2025^{8}+8^{2025}$的个位数字是3.

答案： 3 提示:因为$8^1,8^2,8^3,8^4,8^5,\cdots$的个位数字分别为8,4,2,6,8,…,所以$8^n$的个位数字每4次一循环.因为$2025÷4 = 506\cdots\cdots1$,所以$8^{2025}$的个位数字是8.同理2025的1,2,3,4…次幂的个位数字恒为5,所以$2025^8$的个位数字是5.所以$2025^8 + 8^{2025}$的个位数字是3.

9. 观察下面“品”字形中各数之间的规律,根据观察到的规律得出a的值为______.

41

答案： 41 提示:由题图可知,第n个图形中最上面的小正方形中的数字是$2n - 1$,左下角的小正方形中的数字是$2^n$,右下角的小正方形中的数字是$2n - 1 + 2^n$.当$2n - 1 = 9$时,解得$n = 5$,所以$b = 2^5 = 32$,则$a = 9 + 32 = 41$.

10. 定义一种对正整数n的“C运算”:①当n为奇数时,结果为$3n+1$;②当n为偶数时,结果为$\frac{n}{2^{k}}$(其中k是

使

$\frac{n}{2^{k}}$为奇数的正整数).“C运算”不停地重复进行,例如,当n= 66时,其“C运算”如下:

若n= 35,则第2025次“C运算”的结果是______4.

答案： 4 提示:若$n = 35$,则第1次运算结果为$35×3 + 1 = 106$,第2次运算结果为$\frac{106}{2}=53$,第3次运算结果为160,第4次运算结果为$\frac{160}{2^5}=5$,第5次运算结果为16,第6次运算结果为$\frac{16}{2^4}=1$,第7次运算结果为4,第8次运算结果为$\frac{4}{2^2}=1\cdots\cdots$可以看出规律:从第6次开始,结果就只是1,4两个数循环出现,且当次数为偶数时,结果是1,当次数为奇数时,结果是4.因为2025是奇数,所以第2025次“C运算”的结果是4.

11. 计算机常用二进制来表示字符代码,它是用0和1两个数码来表示数,满二进一,例如:二进制数10000转化为十进制数的算法为$1×2^{4}+0×2^{3}+0×2^{2}+0×2^{1}+0= 16$.其他进制也有类似的算法.
(1)根据以上信息,将二进制数“1011”转化为十进制数.
(2)中国古代《易经》一书中记载,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳记数”.如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满五进一,用来记录采集到的野果数量.请计算采集到的野果数量.

答案： 解:
(1)1011转化为十进制数是$1×2^3+0×2^2+1×2^1+1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$.
(2)由于满五进一,可以将其看作五进制数“2302”,转化为十进制数为$2×5^3+3×5^2+0×5^1+2 = 250 + 75 + 0 + 2 = 327$.
答:采集到的野果数量为327个.