《2025年小题狂做七年级数学上册苏科版巅峰版》

11. 如图,若将类似于a,b,c,d四个图的图形称作平面图,则其交点数、边数和区域数之间存在某种关系.观察图表中对应的数值,探究计数的方法并作答.

(1)数一数每个图中各有多少个交点、多少条边,这些边围出多少个区域,并填表.
|平面图|a|b|c|d|
|交点数(S)|4|7|8|10|
|边数(M)|6|9|12|15|
|区域数(N)|3|3|5|6|

(2)根据表中数值,写出平面图的交点数、边数和区域数之间的关系.交点数(S)+区域数(N)-边数(M)=1
(3)利用(2)中得出的关系,解决如下问题：如果一个平面图交点数S为20,区域数N为11,求这个平面图的边数M.30

答案： 解:
(1)填表如下:平面图 a b c d交点数(S) 4 7 8 10边数(M) 6 9 12 15区域数(N) 3 3 5 6
(2)观察表中数据,得4+3 - 6=1,7+3 - 9=1,8+5 - 12=1,10+6 - 15=1,所以交点数(S)+区域数(N)-边数(M)=1.
(3)由
(2),得边数(M)=交点数(S)+区域数(N)-1=20+11 - 1=30.

12. 如图,直线AB//CD,EF//GH,∠AEF的平分线交CD于点P.
(1)∠EPF与∠PEF相等吗？请说明理由.
(2)若∠FHG= 3∠EPF,求∠EFD的度数.
(3)Q为射线GH上一点,连接EQ,FQ.若∠QFH= ∠F QH,且∠PEQ-∠EQF= 50°,求∠EQF的度数.

答案：
解:
(1)∠EPF与∠PEF相等,理由如下:因为EP是∠AEF的平分线,所以∠PEA=∠PEF,因为AB//CD,所以∠PEA=∠EPF,所以∠EPF=∠PEF.
(2)设∠EPF=α,所以∠FHG=3∠EPF=3α,由
(1)可知,∠EPF=∠PEF=∠PEA=α,所以∠AEF=2α,因为AB//CD,所以∠EFD=∠AEF=2α,因为EF//GH,所以∠EFH+∠FHG=180°,即2α+3α=180°,解得α=36°,所以∠EFD=2α=72°.
(3)设∠EQF=β,因为∠PEQ - ∠EQF=50°,所以∠PEQ=50°+β,因为Q为射线GH上一点,所以分以下两种情况讨论:①如图1,当点Q在线段GH上时,因为EF//GH,所以∠1=∠FQH,因为∠QFH=∠FQH,所以∠1=∠QFH,所以∠1=$\frac{1}{2}$∠EFD,因为EP是∠AEF的平分线,所以∠2=$\frac{1}{2}$∠AEF,因为AB//CD,所以∠AEF=∠EFD,所以∠1=∠2,所以PE//FQ,所以∠PEQ+∠EQF=180°,即50°+β+β=180°,解得β=65°,即∠EQF=65°. ②如图2,当点Q在线段GH的延长线上时,过点Q作QR//CD交EF的延长线于R,则∠3=∠QFH,因为EF//GH,所以∠1=∠FQH,因为∠QFH=∠FQH,所以∠1=∠QFH=∠3,所以∠RFH=2∠1=2∠3,因为∠RFH=∠PFE,所以∠PFE=2∠3,因为EP是∠AEF的平分线,所以∠2=$\frac{1}{2}$∠AEF,因为AB//CD,所以∠AEF+∠CFE=180°,所以2∠3+2∠2=180°,所以∠3+∠2=90°,因为AB//CD,QR//CD,所以AB//QR,所以∠AEQ+∠EQR=180°,即∠2+50°+β+∠3+β=180°,解得β=20°,所以∠EQF=β=20°.综上所述,∠EQF的度数为65°或20°.