《2025年小题狂做七年级数学上册苏科版巅峰版》

10. 观察下列等式:$12×231= 132×21$,$13×341= 143×31$,$23×352= 253×32$,$34×473= 374×43$,$62×286= 682×26$,…,以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.
(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子成为“数字对称等式”:
①$52×$275$=$572$×25$;
②63$×396= 693×$36.
(2)设这类等式左边两位数的十位上的数字为$a$,个位上的数字为$b$,且$2\leqslant a+b\leqslant9$,试写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含$a$,$b$),并说明你的理由.
(10a+b)[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b](10b+a).理由如下:因为左边=(10a+b)(110b+11a)=11(10a+b)(10b+a),右边=(110a+11b)·(10b+a)=11(10a+b)(10b+a),所以左边=右边.所以等式成立.

答案：
(1)①275 572 ②63 36
(2)解:(10a+b)[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b](10b+a).理由如下:因为左边=(10a+b)(110b+11a)=11(10a+b)(10b+a),右边=(110a+11b)·(10b+a)=11(10a+b)(10b+a),所以左边=右边.所以等式成立.

11. 阅读下列材料,解决后面的问题:
“如果代数式$5a+3b的值为-4$,那么代数式$2(a+b)+4(2a+b)$的值是多少?”我们可以这样来解:原式$=2a+2b+8a+4b= 10a+6b$.把等式$5a+3b= -4$两边同乘2,得$10a+6b= -8$.
(1)已知$a^{2}+a= 0$,求$a^{2}+a+123$的值.
(2)已知$a-b= -3$,求$3(a-b)-a+b+5$的值.
(3)已知$a^{2}+2ab= -2$,$ab-b^{2}= -4$,求$2a^{2}+5ab-b^{2}$的值.
(4)已知$x^{2}+xy= -2$,$xy+y^{2}= 5$,分别求出$x^{2}-y^{2}和2x^{2}+3xy+y^{2}$的值.

答案：
(1)因为a²+a=0,所以a²+a+123=0+123=123.
(2)因为a−b=−3,所以原式=3(a−b)−(a−b)+5=2(a−b)+5=2×(−3)+5=−1.
(3)因为a²+2ab=−2,ab−b²=−4,所以2a²+5ab−b²=2(a²+2ab)+ab−b²=2×(−2)+(−4)=−8.
(4)因为x²+xy=−2,xy+y²=5,所以x²−y²=(x²+xy)−(xy+y²)=−2−5=−7;2x²+3xy+y²=2(x²+xy)+(xy+y²)=2×(−2)+5=−4+5=1.

12. 当$x分别为-1$,$1$,$2$时,代数式$kx+b$的对应值如下:
|$x$|$-1$|$1$|$2$|
|$kx+b$|$m$|$3$|$n$|
则$m+2n= $9.

答案： 9 提示:根据题意,得k+b=3①,−k+b=m②,2k+b=n③.由③可知,2n=4k+2b④.由②+④可知,m+2n=−k+b+4k+2b=3k+3b=3(k+b).再由①可知,m+2n=3×3=9.

13. 定义:对于一个数$x$,我们把$[x]$称作$x$的“相伴数”.规定:若$x\geqslant0$,则$[x]= x-1$;若$x＜0$,则$[x]= x+1$.例如:$[0.5]= -0.5$.
(1)填空:$[\frac{4}{3}]=$$\frac{1}{3}$,$[-3]=$$-2$.
(2)当$a＞0$,$b＜0$时,有$[a]= [b]$,计算:$(b-a)^{4}-6(\frac{1}{2}a^{2}b+\frac{5}{2}a-b)+3a^{2}b+9b$.当a＞0,b＜0时,[a]=a−1,[b]=b+1.因为[a]=[b],所以a−1=b+1,即a−b=2.原式=(b−a)⁴−3a²b−15a+6b+3a²b+9b=(b−a)⁴−15(a−b).将a−b=2代入,得原式=(−2)⁴−15×2=16−30=−14.
(3)计算:$2[x]-[x+2]$.当x＜−2时,原式=2(x+1)−(x+2+1)=x−1;当−2≤x＜0时,原式=2(x+1)−(x+2−1)=x+1;当x≥0时,原式=2(x−1)−(x+2−1)=x−3.

答案：
(1)$\frac{1}{3}$ −2
(2)当a＞0,b＜0时,[a]=a−1,[b]=b+1.因为[a]=[b],所以a−1=b+1,即a−b=2.原式=(b−a)⁴−3a²b−15a+6b+3a²b+9b=(b−a)⁴−15(a−b).将a−b=2代入,得原式=(−2)⁴−15×2=16−30=−14.
(3)当x＜−2时,原式=2(x+1)−(x+2+1)=x−1;当−2≤x＜0时,原式=2(x+1)−(x+2−1)=x+1;当x≥0时,原式=2(x−1)−(x+2−1)=x−3.