《2025年暑假衔接七年级数学人教版延边人民出版社》

例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证：(1)BC=AD；(2)图中还有哪对三角形全等并说明理由.

(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D=∠C=90°，在Rt△ACB和Rt△BDA中，∵$\begin{cases}AB=BA,\\AC=BD,\end{cases}$ ∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)，∴BC=AD.
(2)△ADO≌△BCO，理由：∵在△ADO与△BCO中，$\begin{cases}∠D=∠C,\\∠AOD=∠BOC,\\AD=BC,\end{cases}$ ∴△ADO≌△BCO(AAS).

答案：

分析：根据垂直得出∠C=∠D=90°，从而利用“HL”定理判定Rt△ACB≌Rt△BDA，然后得出结论.

答案：
(1)
∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°，在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∵$\begin{cases}AB=BA,\\AC=BD,\end{cases}$
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)，
∴BC=AD.

(2)
∵在△ADO与△BCO中，$\begin{cases}∠D=∠C,\\∠AOD=∠BOC,\\AD=BC,\end{cases}$
∴△ADO≌△BCO(AAS).

反思：“HL”是判定两个直角三角形全等的特有的方法，在运用此方法时要注意：
(1)要保证两个三角形是直角三角形；
(2)斜边相等；
(3)任意一条直角边对应相等；
(4)在书写条件时，两个三角形符号前一定要加上“Rt”符号. 直角三角形全等判定有5种方法.

例2 (1)已知：如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E. 求证：DE=BD+CE.
(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角. 那么结论DE=BD+CE是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.
(1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠AEC=90°. ∴∠BAD+∠ABD=90°. 又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°. ∴∠CAE=∠ABD. 在△ADB和△CEA中，$\begin{cases}∠ABD=∠CAE,\\∠BDA=∠AEC,\\AB=CA,\end{cases}$ ∴△ADB≌△CEA(AAS). ∴BD=AE，AD=CE. ∴DE=AE+AD=BD+CE. (2)成立. 证明：∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC=180°−α. ∴∠DBA=∠EAC. 在△ADB和△CEA中，$\begin{cases}∠DBA=∠EAC,\\∠BDA=∠AEC,\\AB=AC,\end{cases}$ ∴△ADB≌△CEA(AAS). ∴BD=AE，AD=CE. ∴DE=AE+AD=BD+CE.

答案：

分析：
(1)由条件根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”证明△ADB≌△CEA即可.
(2)利用∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案.

答案：
(1)证明：
∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠AEC=90°.
∴∠BAD+∠ABD=90°. 又
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∴∠CAE=∠ABD. 在△ADB和△CEA中，$\begin{cases}∠ABD=∠CAE,\\∠BDA=∠AEC,\\AB=CA,\end{cases}$
∴△ADB≌△CEA(AAS).
∴BD=AE，AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(2)成立. 证明：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC=180°−α.
∴∠DBA=∠EAC. 在△ADB和△CEA中，$\begin{cases}∠DBA=∠EAC,\\∠BDA=∠AEC,\\AB=AC,\end{cases}$
∴△ADB≌△CEA(AAS).
∴BD=AE，AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.

反思：要证一条线段与另两条线段的和差关系，通常利用证明全等三角形来对相关线段进行转化和组合. 常用的全等模型有“三垂直”“一线三等角”等，做题时应注意观察图象特征和分析题意，以确定适用的方法和模型.