《2025年暑假衔接七年级数学人教版延边人民出版社》

20. 若 $m$ 是不等式组 $\begin{cases}2(1 - x) ＜ x + 8,①\\\frac{3x - 2}{6}＜\frac{x - 1}{3}②\end{cases}$ 的最大整数解. 求 $1 + m + m^{2}+\cdots + m^{2023}$ 的值.

答案： 由不等式①，得$x＞-2$。由不等式②，得$x＜0$。所以不等式组的解集为$-2\lt x＜0$。解集中最大的整数解为$x=-1$，所以$m=-1$。把$m=-1$代入$1 + m + m^{2}+\cdots + m^{2023}$中，原式$=1+( - 1)+( - 1)^{2}+\cdots+( - 1)^{2023}=1 - 1 + 1 - 1+\cdots - 1 = 0$。

21. 已知方程组 $\begin{cases}x + y = - 7 - m,\\x - y = 1 + 3m\end{cases}$ 的解满足 $x$ 为非正数，$y$ 为负数.
(1)求 $m$ 的取值范围；$-2\lt m\leqslant 3$
(2)化简：$\vert m - 3\vert-\vert m + 2\vert$；$1 - 2m$
(3)在 $m$ 的取值范围内，当 $m$ 为何整数时，不等式 $2mx + x ＜ 2m + 1$ 的解是 $x ＞ 1$.$-1$

答案：
(1)解原方程组得$\begin{cases}x = m - 3,\\y = - 2m - 4.\end{cases}$
∵$x\leqslant 0$，$y＜0$，
∴$\begin{cases}m - 3\leqslant 0,\\-2m - 4＜0.\end{cases}$解得$-2\lt m\leqslant 3$。
(2)$\vert m - 3\vert-\vert m + 2\vert=3 - m - m - 2 = 1 - 2m$。
(3)整理$2mx + x＜2m + 1$得$(2m + 1)x＜2m + 1$。
∵$x＞1$，
∴$2m + 1＜0$。
∴$m＜-\frac{1}{2}$。
∴$-2\lt m＜-\frac{1}{2}$。
∴$m=-1$。

22. 已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}x - y = 3,\\2x + y = 6a\end{cases}$ 的解满足不等式 $x + y ＜ 3$，求实数 $a$ 的取值范围.
$a＜1$

答案： 由$\begin{cases}x - y = 3,①\\2x + y = 6a,②\end{cases}$可得$\begin{cases}x = 2a + 1,\\y = 2a - 2,\end{cases}$
∵$x + y＜3$，
∴$2a + 1 + 2a - 2＜3$，
∴$a＜1$。