《2025年暑假衔接七年级数学人教版延边人民出版社》

例 1 已知在 $ \triangle A B C $ 中，$ \angle B = 2 \angle A $，$ \angle C = \angle A + 20 ^ { \circ } $，则 $ \angle A $ 等于（A）
A. $ 40 ^ { \circ } $
B. $ 60 ^ { \circ } $
C. $ 80 ^ { \circ } $
D. $ 90 ^ { \circ } $

答案：

分析：设 $ \angle A = x $，则 $ \angle B = 2 x $，$ \angle C = \angle A + 20 ^ { \circ } = x + 20 ^ { \circ } $，

根据三角形内角和定理，得 $ x + 2 x + ( x + 20 ^ { \circ } ) = 180 ^ { \circ } $，

解得 $ x = 40 ^ { \circ } $。

答案：A

反思：在求三角形中角的度数时，若未明确任何一个角的度数，则一般用方程思想求解。根据角之间的数量关系及三角形内角和定理列方程求解。

例 2 如图，在 $ \triangle A B C $ 中，$ A D \perp B C $，$ \angle 1 = \angle B $。求证：$ \triangle A B C $ 是直角三角形。

方法一：证明：$ \because A D \perp B C $，$ \therefore \angle A D B = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle B + \angle B A D = 90 ^ { \circ } $。$ \because \angle 1 = \angle B $，$ \therefore \angle 1 + \angle B A D = 90 ^ { \circ } $。即 $ \angle B A C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \triangle A B C $ 是直角三角形。
方法二：证明：$ \because A D \perp B C $，$ \therefore \angle A D C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle 1 + \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ \because \angle 1 = \angle B $，$ \therefore \angle B + \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \triangle A B C $ 是直角三角形。

答案：

分析：要证 $ \triangle A B C $ 是直角三角形。可证 $ \angle B A C = 90 ^ { \circ } $，$ \because A D \perp $ $ B C $，$ \therefore \angle B + \angle B A D = 90 ^ { \circ } $。$ \because \angle 1 = \angle B $，$ \therefore \angle 1 + \angle B A D = 90 ^ { \circ } $，或者可证 $ \angle B + \angle C = 90 ^ { \circ } $，由 $ \angle 1 + \angle C = 90 ^ { \circ } $ 可得。

答案：方法一：证明：$ \because A D \perp B C $，$ \therefore \angle A D B = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle B + \angle B A D = 90 ^ { \circ } $。$ \because \angle 1 = \angle B $，$ \therefore \angle 1 + \angle B A D = 90 ^ { \circ } $。即 $ \angle B A C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \triangle A B C $ 是直角三角形。

方法二：证明：$ \because A D \perp B C $，$ \therefore \angle A D C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle 1 + \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ \because \angle 1 = \angle B $，$ \therefore \angle B + \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \triangle A B C $ 是直角三角形。

反思：证三角形是直角三角形常用两种方法：①一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形。