《2025年暑假衔接七年级数学人教版延边人民出版社》

17. 取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转一个大小为α(0°＜α＜90°)的角得到三角形ABC'，如图2.试问：
（1）当角α为多少度时，能使图2的AB//DC？15°
（2）当旋转到图3位置时，此时α又为多少度？45°

答案：
(1) 在 $Rt\triangle ADC$ 中，$\angle DAC=90^{\circ}$，$\angle DCA=30^{\circ}$，$\angle D=60^{\circ}$，在 $Rt\triangle ABC'$ 中，$\angle ABC'=90^{\circ}$，$AB=BC'$，$\therefore \angle C'AB=45^{\circ}$，$\because AB// DC$，$\therefore \angle BAC=\angle DCA=30^{\circ}$，$\therefore \angle \alpha =\angle C'AB - \angle BAC=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}$，$\therefore$ 当 $\angle \alpha =15^{\circ}$ 时，$AB// DC$；
(2) $\alpha =45^{\circ}$。

18. 如图，已知AB//CD，点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，∠ADC=70°.
（1）求∠EDC的度数；
（2）若∠ABC=m°，求∠BED的度数(用含m的代数式表示)；
（3）将线段BC沿DC方向移动，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°，求∠BED的度数(用含n的代数式表示).

答案：

(1) $\because DE$ 平分 $\angle ADC$，$\angle ADC=70^{\circ}$，$\therefore \angle EDC=\frac{1}{2}\angle ADC=35^{\circ}$。
(2) $\because BE$ 平分 $\angle ABC$，$\therefore \angle CBE=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}m^{\circ}$，$\because AB// CD$，$\therefore \angle BCD=\angle ABC=m^{\circ}$，$\therefore \angle CBE+\angle BED=\angle EDC+\angle BCD$，即 $\frac{1}{2}m^{\circ}+\angle BED=35^{\circ}+m^{\circ}$，解得 $\angle BED=35^{\circ}+\frac{1}{2}m^{\circ}$。
(3) 如图，$\because BE$ 平分 $\angle ABC$，$DE$ 平分 $\angle ADC$，$\therefore \angle ADE=\frac{1}{2}\angle ADC=35^{\circ}$，$\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}n^{\circ}$，$\because AB// CD$，$\therefore \angle BAD=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$。在四边形 $ADEB$ 中，$\angle BED=360^{\circ}-110^{\circ}-35^{\circ}-\frac{1}{2}n^{\circ}=215^{\circ}-\frac{1}{2}n^{\circ}$。