《2025年暑假衔接七年级数学人教版延边人民出版社》

23. 2022 年 2 月 4 日至 20 日冬季奥运会在北京举行. 某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共 $180$ 个进行销售. 已知“冰墩墩”摆件的进价为 $80$ 元/个，“冰墩墩”挂件的进价为 $50$ 元/个.
(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了 $11400$ 元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量；
(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为 $100$ 元/个，“冰墩墩”挂件售价定为 $60$ 元/个，若购进的 $180$ 个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利 $2900$ 元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？

答案：
(1)设购进“冰墩墩”摆件$x$个，“冰墩墩”挂件$y$个，依题意得：$\begin{cases}x + y = 180,\\80x + 50y = 11400,\end{cases}$解得：$\begin{cases}x = 80,\\y = 100.\end{cases}$答：购进“冰墩墩”摆件$80$个，“冰墩墩”挂件$100$个。
(2)设购进“冰墩墩”挂件$m$个，则购进“冰墩墩”摆件$(180 - m)$个，依题意得：$(60 - 50)m+(100 - 80)(180 - m)\geqslant 2900$，解得：$m\leqslant 70$。答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过$70$个。

24. 某工厂用如图 1 所示的长方形和正方形纸板，做成如图 2 所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒.
(1)现有正方形纸板 $162$ 张，长方形纸板 $340$ 张. 若要做两种纸盒共 $100$ 个，设做竖式纸盒 $x$ 个；
①根据题意，完成以下表格：
|纸盒纸板|竖式纸盒(个)|横式纸盒(个)|
|----|----|----|
| |$x$|$100 - x$|
|正方形纸板(张)|$x$|$2(100 - x)$|
|长方形纸板(张)|$4x$|$3(100 - x)$|
②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？
由题意得$\begin{cases}x + 2(100 - x)\leqslant 162,\\4x + 3(100 - x)\leqslant 340,\end{cases}$解得$38\leqslant x\leqslant 40$。∵$x$是整数，∴$x = 38$或$39$或$40$。∴有三种方案：生产竖式纸盒$38$个，横式纸盒$62$个；生产竖式纸盒$39$个，横式纸盒$61$个；生产竖式纸盒$40$个，横式纸盒$60$个。
(2)若有正方形纸板 $162$ 张，长方形纸板 $a$ 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完. 已知 $290 ＜ a ＜ 306$，求 $a$ 的值.
设做竖式纸盒$m$个，横式纸盒$n$个，则$m$个竖式纸盒需要正方形纸板$m$张，长方形纸板$4m$张；$n$个横式纸盒需要正方形纸板$2n$张，长方形纸板$3n$张。得$\begin{cases}m + 2n = 162,\\4m + 3n = a,\end{cases}$∴$n=\frac{648 - a}{5}$。∵$290\lt a＜306$，∴$68.4\lt n＜71.6$。∵$n$取正整数，∴当取$n = 69$时，$a = 303$；当取$n = 70$时，$a = 298$；当取$n = 71$时，$a = 293$。

答案：
(1)①从左往右：$x$ $3(100 - x)$ ②由题意得$\begin{cases}x + 2(100 - x)\leqslant 162,\\4x + 3(100 - x)\leqslant 340,\end{cases}$解得$38\leqslant x\leqslant 40$。
∵$x$是整数，
∴$x = 38$或$39$或$40$。
∴有三种方案：生产竖式纸盒$38$个，横式纸盒$62$个；生产竖式纸盒$39$个，横式纸盒$61$个；生产竖式纸盒$40$个，横式纸盒$60$个。
(2)设做竖式纸盒$m$个，横式纸盒$n$个，则$m$个竖式纸盒需要正方形纸板$m$张，长方形纸板$4m$张；$n$个横式纸盒需要正方形纸板$2n$张，长方形纸板$3n$张。得$\begin{cases}m + 2n = 162,\\4m + 3n = a,\end{cases}$
∴$n=\frac{648 - a}{5}$。
∵$290\lt a＜306$，
∴$68.4\lt n＜71.6$。
∵$n$取正整数，
∴当取$n = 69$时，$a = 303$；当取$n = 70$时，$a = 298$；当取$n = 71$时，$a = 293$。